Dar exemplos, em cada caso, de operadores lineares em \mathbb{R}^{2} tais que;
T \circ T=0 mas T \neq 0

Passo 1

O enunciado pede um operador linear T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 que seja nilpotente de ordem 2, ou seja,
T\circ T = 0
mas T\neq 0. Em termos de matrizes na base canônica, queremos uma matriz A em M_{2\times2}(\mathbb{R}) tal que
A^2 = 0 \quad\text{e}\quad A\neq 0.
Para isso basta construir um bloco de Jordan nilpotente de tamanho 2.

Passo 2

Escolhemos a matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.
Associamos a A a transformação linear
T(x,y) = A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \bigl(y,\,0\bigr).

Passo 3

Verificamos que A^2=0. De fato,
A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot0 + 1\cdot0 & 0\cdot1 + 1\cdot0\\\\ 0\cdot0 + 0\cdot0 & 0\cdot1 + 0\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Logo T\circ T=0.

Passo 4

Por outro lado, A\neq0 (pois tem um elemento não-nulo na posição (1,2)), então T\neq 0. Assim satisfazemos a condição pedida.

Resposta

Um exemplo é
T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2, \quad T(x,y) = (y,0),
cuja matriz na base canônica é
\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix},
e verifica T\circ T=0 mas T\neq0.

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