A matriz relativa às respectivas bases canônicas, da transformação linear L: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \operatorname{Diag}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) é:
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & -1 \\\\ 2 & 0 & 5 \end{array}\right]
(a) Determine L(1), L(t) e L\left(t^{2}\right);
(b) Determine L\left(a+b t+c t^{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
L: P_{2}(\mathbb{R}) \to \mathrm{Diag}_{2\times2}(\mathbb{R})
cuja matriz na base canônica do domínio \{1,t,t^2\} e na base canônica do codomínio \{E_{11},E_{22}\} é
A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1\\\\ 2 & 0 & 5 \end{pmatrix}.
Precisamos primeiro achar L(1), L(t), L(t^2) (parte (a)) e depois estender por linearidade a um polinômio genérico a + b\,t + c\,t^2 (parte (b)).

Passo 2

Cada coluna de A dá as coordenadas de L de um vetor da base do domínio na base \{E_{11},E_{22}\}.
  • A coluna 1 é \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}, logo
L(1) = 1\,E_{11} + 2\,E_{22}.
  • A coluna 2 é \begin{pmatrix}3\\\ 0\end{pmatrix}, logo
L(t) = 3\,E_{11} + 0\,E_{22}.
  • A coluna 3 é \begin{pmatrix}-1\\\ 5\end{pmatrix}, logo
L(t^2) = -1\,E_{11} + 5\,E_{22}.

Passo 3

Escrevendo cada um como matriz diagonal:
L(1)=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&2\end{pmatrix},\quad L(t)=\begin{pmatrix}3&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad L(t^2)=\begin{pmatrix}-1&0\\\ 0&5\end{pmatrix}.

Passo 4

Para um polinômio genérico p(t)=a + b\,t + c\,t^2, pela linearidade
L(a + b\,t + c\,t^2) = a\,L(1) + b\,L(t) + c\,L(t^2).
Somando as matrizes diagonais, o termo (1,1) fica
a\cdot1 + b\cdot3 + c\cdot(-1) = a + 3b - c,
e o termo (2,2) fica
a\cdot2 + b\cdot0 + c\cdot5 = 2a + 5c.

Resposta

(a)
L(1)=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&2\end{pmatrix},\quad L(t)=\begin{pmatrix}3&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad L(t^2)=\begin{pmatrix}-1&0\\\ 0&5\end{pmatrix}.
(b)
L(a + b\,t + c\,t^2) =\begin{pmatrix} a + 3b - c & 0\\[6pt] 0 & 2a + 5c \end{pmatrix}.]

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