Darcy decidiu depositar R$100,00 mensalmente durante 30 anos. Sabendo que há taxa de juros compostos de 0,8% a.m, qual será o valor acumulado futuro, aproximado depois dos 30 anos, sabendo que a prestação é postecipada?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A Darcy decidiu guardar R$100,00 todo mês durante 30 anos. Ela vai ganhar juros compostos de 0,8% ao mês, e as parcelas são postecipadas, ou seja, pagas no fim de cada período. Nosso objetivo é descobrir quanto ela terá acumulado ao final desses 30 anos. Para resolver isso, vamos usar a matemática financeira, mais especificamente a fórmula do valor futuro de uma série de pagamentos (anuidade).
Passo 2
Primeiro, vamos entender os termos do problema:
- Depósito mensal (PMT): R$100,00
- Taxa de juros mensal (i): 0,8% = 0,008 (em decimal)
- Período total (n): 30 anos = 30 x 12 meses = 360 meses
Passo 3
Como estamos lidando com juros compostos e depósitos mensais, vamos utilizar a fórmula do valor futuro de uma anuidade postecipada:
Onde:
-
é o valor futuro que queremos encontrar. -
é o valor de cada depósito mensal. -
é a taxa de juros mensal. -
é o número total de períodos (meses).
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ (1 + 0{,}008)^{360} $:
Observação: Aqui, usamos a aproximação $ (1 + i)^n \approx e^{i \times n} $ para facilitar os cálculos.
Passo 6
Substituindo esse valor na fórmula:
Passo 7
Porém, vamos refinar o cálculo para maior precisão. Calculando $ (1{,}008)^{360} $ com mais detalhes:
Então:
Resposta
Ao final dos 30 anos, a Darcy terá acumulado aproximadamente R$211.125,00.