Darcy decidiu depositar R$100,00 mensalmente durante 30 anos. Sabendo que há taxa de juros compostos de 0,8% a.m, qual será o valor acumulado futuro, aproximado depois dos 30 anos, sabendo que a prestação é postecipada?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A Darcy decidiu guardar R$100,00 todo mês durante 30 anos. Ela vai ganhar juros compostos de 0,8% ao mês, e as parcelas são postecipadas, ou seja, pagas no fim de cada período. Nosso objetivo é descobrir quanto ela terá acumulado ao final desses 30 anos. Para resolver isso, vamos usar a matemática financeira, mais especificamente a fórmula do valor futuro de uma série de pagamentos (anuidade).

Passo 2

Primeiro, vamos entender os termos do problema:
  • Depósito mensal (PMT): R$100,00
  • Taxa de juros mensal (i): 0,8% = 0,008 (em decimal)
  • Período total (n): 30 anos = 30 x 12 meses = 360 meses

Passo 3

Como estamos lidando com juros compostos e depósitos mensais, vamos utilizar a fórmula do valor futuro de uma anuidade postecipada:
FV = PMT times ( (1 + i)^n - 1i )
Onde:
  • FV é o valor futuro que queremos encontrar.
  • PMT é o valor de cada depósito mensal.
  • i é a taxa de juros mensal.
  • n é o número total de períodos (meses).

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
FV = 100 times ( (1 + 0,008)^360 - 10,008 )

Passo 5

Agora, vamos calcular $ (1 + 0{,}008)^{360} $:
(1 + 0,008)^360
Observação: Aqui, usamos a aproximação $ (1 + i)^n \approx e^{i \times n} $ para facilitar os cálculos.

Passo 6

Substituindo esse valor na fórmula:
FV = 100 times ( 17,84 - 10,008 ) = 100 times ( 16,840,008 ) = 100 times 2,105 = 210,50

Passo 7

Porém, vamos refinar o cálculo para maior precisão. Calculando $ (1{,}008)^{360} $ com mais detalhes:
(1,008)^360
Então:
(1,008)^360 approx 17,89

Resposta

Ao final dos 30 anos, a Darcy terá acumulado aproximadamente R$211.125,00.

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