Data: 20/11/2024.
ATIVIDADE COMPLEMENTAR PARA PROVA 3 - pontuação máxima 4,0 pontos
Entrega: 27 / 11 / 2024 via Moodle - arquivo pdf
Sejam claros nas suas respostas e a interpretação geométrica faz parte da resolução. Isso não quer dizer que seu desenho deverá ser perfeito, quero apenas uma representação coerente.
Escreva em coordenadas cilíndricas, a integral que permite calcular o volume do sólido formado por x^2+y^2+z^2=25 e x^2+y^2+z^2=10 z.

Passo 1

A gente quer montar a integral em coordenadas cilíndricas que dá o volume da região comum às esferas x^2+y^2+z^2=25 e x^2+y^2+z^2=10z. O conteúdo aqui é mudança para coordenadas cilíndricas e achar os limites de integração em r, theta e z.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos x=rcostheta, y=rsintheta e x^2+y^2=r^2. Assim as esferas viram
r^2+z^2=25
e
r^2+z^2=10zLong<=ftrightarrow r^2+(z-5)^2=25

Passo 3

Para achar a curva de interseção das duas superfícies, igualamos r^2+z^2=25 e r^2+z^2=10z. Isso leva a
10z=25Longrightarrow z=52
Substituindo em r^2+z^2=25
r^2+l(52r)^2=25Longrightarrow r=5raiz32

Passo 4

Para cada r entre 0 e tfrac5raiz32, a região comum está entre as duas superfícies em z. O limite inferior vem de r^2+(z-5)^2=25, isto é z=5-raiz25-r^2, e o superior de r^2+z^2=25, isto é z=raiz25-r^2. Portanto a integral tripla em coordenadas cilíndricas que dá o volume é:
V=integral0^2piintegral0^tfrac5raiz32integral5-raiz25-r^2^raiz25-r^2r,dz,dr,dtheta

Resposta

V=integral0^2piintegral0^tfrac5raiz32integral5-raiz25-r^2^raiz25-r^2r,dz,dr,dtheta

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