Data taken from a stress-strain test for a ceramic are given in the table. The curve is linear between the origin and the first point. Plot the diagram, and determine the modulus of elasticity and the modulus of resilience.
\boldsymbol{\sigma} (ksi) \boldsymbol{\epsilon} (in./in.)
0 0
33.2 0.0006
45.5 0.0010
49.4 0.0014
51.5 0.0018
53.4 0.0022

\captionsetup{labelformat=empty}
Table 1: Probs. 3-2/3

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Plotar o diagrama tensão-deformação usando os dados fornecidos.
  2. Determinar o módulo de elasticidade e o módulo de resiliência.
Dados fornecidos (retirei-os da tabela do enunciado):
( \sigma,\epsilon )=\{(0,0),\; (33{,}2\\ \text{ksi},\;0{,}0006),\; (45{,}5\\ \text{ksi},\;0{,}0010),\; (49{,}4\\ \text{ksi},\;0{,}0014),\; (51{,}5\\ \text{ksi},\;0{,}0018),\; (53{,}4\\ \text{ksi},\;0{,}0022)\}.
Observação importante dada no enunciado: a curva é linear entre a origem e o primeiro ponto (33{,}2,\;0{,}0006). Isso indica que o trecho inicial é elástico e proporcional (reta passando pela origem até esse primeiro ponto).

Passo 2

Como traçar o gráfico (instrução prática para a prova):
  • Coloque a deformação \epsilon no eixo horizontal (x) e a tensão \sigma no eixo vertical (y), que é o formato padrão.
  • Defina escalas: por exemplo eixo x de 0 até 0{,}0025 (cada divisão 0{,}0002 ou 0{,}0005) e eixo y de 0 até 60\\ \text{ksi} (cada divisão 5\\ \text{ksi} ou 10\\ \text{ksi}).
  • Plote os pontos listados. Entre a origem e (33{,}2,\;0{,}0006) desenhe uma reta (o enunciado diz que é linear ali). Depois ligue os pontos seguintes com linhas ou uma curva suave conforme os pontos indicam.
  • Marque claramente o “limite proporcional” ou “ponto elástico” na coordenada (33{,}2,\;0{,}0006) — é até aí que podemos usar a reta e os fórmulas elásticas simples.

Passo 3

O que é e como calcular o módulo de elasticidade (Young):
  • Conceito: o módulo de elasticidade E é a razão entre tensão e deformação na região linear inicial (a inclinação da reta no trecho elástico). É a medida de rigidez do material.
  • Fórmula básica:
E=\frac{\Delta\sigma}{\Delta\epsilon},
onde \Delta\sigma é a variação de tensão correspondente à variação de deformação \Delta\epsilon.
  • No nosso caso usamos a origem e o primeiro ponto (pois o problema disse que é linear entre eles), então:
\Delta\sigma=\;33{,}2-0=33{,}2\\ \text{ksi},
\Delta\epsilon=\;0{,}0006-0=0{,}0006.
  • Agora calculamos E:
E=\frac{33{,}2}{0{,}0006}=55\,333{,}333\ldots\\ \text{ksi}.
  • Apresentando com três algarismos significativos:
E \approx 5{,}53\times 10^{4}\\ \text{ksi}.
  • Conversão útil para unidades do Sistema Internacional (opcional): 1\\ \text{ksi}=6{,}895\\ \text{MPa}, então
E \approx 55\,333{,}3\times 6{,}895\\ \text{MPa}\approx 381{,}3\\ \text{GPa}.
(usar a unidade que o professor pedir; condicionando os dados originais, manter em \text{ksi} está perfeitamente correto.)

Passo 4

O que é e como calcular o módulo de resiliência:
  • Conceito: o módulo de resiliência U_r é a energia por unidade de volume que o material pode absorver elasticamente até o limite elástico (é a área sob a curva tensão-deformação até esse limite).
  • Para material linear-elástico até \sigma_y e \epsilon_y, a área sob a reta é a área de um triângulo:
U_r=\frac{1}{2}\sigma_y\epsilon_y.
  • No nosso caso tomamos o primeiro ponto como limite elástico: \sigma_y=33{,}2\\ \text{ksi} e \epsilon_y=0{,}0006. Então:
U_r=\frac{1}{2}\cdot 33{,}2\cdot 0{,}0006.
  • Calcule passo a passo:
\frac{1}{2}\cdot 33{,}2=16{,}6,
16{,}6\cdot 0{,}0006=0{,}00996\\ \text{ksi}.
  • Podemos também usar a forma alternativa U_r=\dfrac{\sigma_y^2}{2E} para checar (mesma fórmula, só manipulada):
U_r=\frac{(33{,}2)^2}{2\cdot 55\,333{,}333}=0{,}00996\\ \text{ksi},
o mesmo resultado (confirmação).
  • Conversões e interpretação:
    • Em \text{psi}: U_r=0{,}00996\\ \text{ksi}\times 1000 = 9{,}96\\ \text{psi}.
    • Em \text{MPa}: U_r=0{,}00996\\ \text{ksi}\times 6{,}895 \approx 0{,}0687\\ \text{MPa}.
    • Em energia por volume (J/m^3): 0{,}0687\\ \text{MPa}=68{,}7\\ \text{kPa}=68{,}7\\ \text{kJ/m}^3. (Lembre: 1\\ \text{Pa}=1\\ \text{J/m}^3.)

Passo 5

Dicas para a prova (curtas e práticas):
  • Se pedirem apenas E, sempre verifique qual trecho é linear; use dois pontos desse trecho (preferencialmente a origem e o primeiro ponto se a curva for reta desde a origem).
  • Para o módulo de resiliência, se o trecho é linear até a tensão \sigma_y, use U_r=\tfrac{1}{2}\sigma_y\epsilon_y. Memorize a versão equivalente \tfrac{\sigma_y^2}{2E} — às vezes é mais fácil se você já tem E.
  • Sempre anote unidades e, se necessário, converta no final para a unidade requerida.

Resposta

E \approx 5{,}53\times 10^{4}\\ \text{ksi}\approx 381{,}3\\ \text{GPa}\n
U_r \approx 0{,}00996\\ \text{ksi}=9{,}96\\ \text{psi}\approx 0{,}0687\\ \text{MPa}=68{,}7\\ \text{kJ/m}^3

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