Verifique se
satisfaz o sistema (na verdade, essa é a única solução).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que relaciona $ P_k(t) $ com $ P_{k-1}(t) $. O objetivo é verificar se a função $ P_{k}(t) = \frac{e^{-\alpha t}(\alpha t)^{k}}{k!} $ realmente satisfaz essa equação para todos os valores de $ k = 1, 2, 3, ··· $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente de derivadas, e entender um pouquinho sobre séries de termos que dependem de $ k $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que $ P_k(t) $ é dado por $ \frac{e^{-\alpha t}(\alpha t)^{k}}{k!} $. Nosso objetivo é calcular a derivada de $ P_k(t) $ em relação a $ t $ e ver se isso resulta em $ \alpha P_{k-1}(t) - \alpha P_k(t) $.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ P_k(t) $ com relação a $ t $. Usando a regra do produto para derivadas, temos:
Passo 4
Aplicando a regra do produto, derivamos cada parte separadamente:
Passo 5
Agora, juntando as duas partes pela regra do produto:
Passo 6
Vamos simplificar as expressões:
Passo 7
Observando o lado direito da equação original, temos $ \alpha P_{k-1}(t) - \alpha P_k(t) $. Vamos ver se nossa expressão derivada coincide com isso:
Passo 8
Comparando com o que obtivemos na derivada:
Vemos que são exatamente iguais.
Resposta
Portanto, mostramos que $ \frac{d}{dt} P_k(t) = \alpha P_{k-1}(t) - \alpha P_k(t) $, o que confirma que a função $ P_{k}(t) = \frac{e^{-\alpha t}(\alpha t)^{k}}{k!} $ satisfaz o sistema dado.