dd t Pk(t)=alpha Pk-1(t)-alpha Pk(t), k=1,2,3, ldots
Verifique se Pk(t)=e^-alpha t(alpha t)^kk! satisfaz o sistema (na verdade, essa é a única solução).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que relaciona $ P_k(t) $ com $ P_{k-1}(t) $. O objetivo é verificar se a função $ P_{k}(t) = \frac{e^{-\alpha t}(\alpha t)^{k}}{k!} $ realmente satisfaz essa equação para todos os valores de $ k = 1, 2, 3, ··· $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente de derivadas, e entender um pouquinho sobre séries de termos que dependem de $ k $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que $ P_k(t) $ é dado por $ \frac{e^{-\alpha t}(\alpha t)^{k}}{k!} $. Nosso objetivo é calcular a derivada de $ P_k(t) $ em relação a $ t $ e ver se isso resulta em $ \alpha P_{k-1}(t) - \alpha P_k(t) $.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ P_k(t) $ com relação a $ t $. Usando a regra do produto para derivadas, temos:
Pk(t)

Passo 4

Aplicando a regra do produto, derivamos cada parte separadamente:
ddt ( e^-alpha t ) = -alpha e^-alpha t
ddt ( (alpha t)^kk! ) = k (alpha t)^k-1 cdot alphak! = alpha (alpha t)^k-1(k-1)!

Passo 5

Agora, juntando as duas partes pela regra do produto:
ddt Pk(t) = ( -alpha e^-alpha t ) cdot (alpha t)^kk! + e^-alpha t cdot alpha (alpha t)^k-1(k-1)!

Passo 6

Vamos simplificar as expressões:
ddt Pk(t) = -alpha cdot e^-alpha t (alpha t)^kk! + alpha cdot e^-alpha t (alpha t)^k-1(k-1)!

Passo 7

Observando o lado direito da equação original, temos $ \alpha P_{k-1}(t) - \alpha P_k(t) $. Vamos ver se nossa expressão derivada coincide com isso:
alpha Pk-1(t) - alpha Pk(t)

Passo 8

Comparando com o que obtivemos na derivada:
ddt Pk(t) = -alpha cdot e^-alpha t (alpha t)^kk! + alpha cdot e^-alpha t (alpha t)^k-1(k-1)!
Vemos que são exatamente iguais.

Resposta

Portanto, mostramos que $ \frac{d}{dt} P_k(t) = \alpha P_{k-1}(t) - \alpha P_k(t) $, o que confirma que a função $ P_{k}(t) = \frac{e^{-\alpha t}(\alpha t)^{k}}{k!} $ satisfaz o sistema dado.

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