a) Qual é a probabilidade de que três, quatro ou cinco clientes cheguem durante o terceiro minuto?
b) Qual é a probabilidade de que mais de quatro clientes cheguem durante o primeiro minuto?
c) Qual é a probabilidade de que mais de quatro clientes cheguem durante cada um dos quatro primeiros minutos?

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos três perguntas sobre a probabilidade de certos números de clientes chegarem em intervalos específicos de tempo. O conteúdo aqui envolve Probabilidade, mais especificamente o Processo de Poisson, que é ótimo para modelar eventos que acontecem aleatoriamente ao longo do tempo, como a chegada de clientes. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da distribuição de Poisson:
P(k; lambda) = e^-lambda lambda^kk!
onde:
  • $ P(k; \lambda) $ é a probabilidade de $ k $ eventos ocorrerem,
  • $ \lambda $ é a taxa média de eventos por intervalo,
  • $ e $ é a base dos logaritmos naturais,
  • $ k! $ é o fatorial de $ k $.
Vamos resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

Parte a) Qual é a probabilidade de que três, quatro ou cinco clientes cheguem durante o terceiro minuto?
Primeiro, vamos entender o que a questão tá pedindo. Queremos saber a probabilidade de ter 3, 4 ou 5 clientes chegando no terceiro minuto. Como cada minuto é independente, a probabilidade de chegada no terceiro minuto é a mesma dos outros.
Usando a distribuição de Poisson, a probabilidade de exatamente $ k $ clientes chegar em um minuto é:
k
Então, a probabilidade de 3, 4 ou 5 clientes é a soma das probabilidades individuais:
P(k; lambda) = e^-lambda lambda^kk!
Vamos calcular cada termo:
P(3; lambda) + P(4; lambda) + P(5; lambda)
P(3; lambda) = e^-lambda lambda^33!
P(4; lambda) = e^-lambda lambda^44!
Somando tudo:
P(5; lambda) = e^-lambda lambda^55!

Passo 3

Parte b) Qual é a probabilidade de que mais de quatro clientes cheguem durante o primeiro minuto?
Aqui, queremos saber a probabilidade de mais de 4 clientes chegarem no primeiro minuto. Isso significa que $ k $ pode ser 5, 6, 7, e assim por diante, até o infinito. Mas calcular até o infinito não é prático, então usamos a ideia de complementar.
A probabilidade de mais de 4 é igual a 1 menos a probabilidade de 4 ou menos:
k
Onde:
P(k > 4; lambda) = 1 - P(k <= 4; lambda)
Calculando cada termo:
P(k <= 4; lambda) = P(0; lambda) + P(1; lambda) + P(2; lambda) + P(3; lambda) + P(4; lambda)
P(0; lambda) = e^-lambda lambda^00! = e^-lambda
P(1; lambda) = e^-lambda lambda^11! = e^-lambda lambda
P(2; lambda) = e^-lambda lambda^22! = e^-lambda lambda^22
P(3; lambda) = e^-lambda lambda^33! = e^-lambda lambda^36
Somando tudo:
P(4; lambda) = e^-lambda lambda^44! = e^-lambda lambda^424
Então:
P(k <= 4; lambda) = e^-lambda (1 + lambda + lambda^22 + lambda^36 + lambda^424 )

Passo 4

Parte c) Qual é a probabilidade de que mais de quatro clientes cheguem durante cada um dos quatro primeiros minutos?
Agora, a gente quer a probabilidade de ter mais de 4 clientes chegando em todos os quatro primeiros minutos. Isso significa que, para cada minuto individualmente, mais de 4 clientes chegam. Como os minutos são independentes, podemos multiplicar as probabilidades individuais.
Primeiro, encontramos a probabilidade de mais de 4 clientes em um minuto, que já calculamos na parte b):
P(k > 4; lambda) = 1 - e^-lambda (1 + lambda + lambda^22 + lambda^36 + lambda^424 )
Agora, como queremos isso acontecer nos quatro primeiros minutos:
P(mais de 4 em cada um dos 4 minutos) = [ P(k > 4; lambda) ]^4
Substituindo:
P = [ 1 - e^-lambda (1 + lambda + lambda^22 + lambda^36 + lambda^424 ) ]^4

Resposta

a) A probabilidade de que três, quatro ou cinco clientes cheguem durante o terceiro minuto é:
P(3,4,5; lambda) = e^-lambda ( lambda^36 + lambda^424 + lambda^5120 )
b) A probabilidade de que mais de quatro clientes cheguem durante o primeiro minuto é:
P(k > 4; lambda) = 1 - e^-lambda (1 + lambda + lambda^22 + lambda^36 + lambda^424 )
c) A probabilidade de que mais de quatro clientes cheguem durante cada um dos quatro primeiros minutos é:
P = [ 1 - e^-lambda (1 + lambda + lambda^22 + lambda^36 + lambda^424 ) ]^4

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