a) Qual é a probabilidade de que três, quatro ou cinco clientes cheguem durante o terceiro minuto?
b) Qual é a probabilidade de que mais de quatro clientes cheguem durante o primeiro minuto?
c) Qual é a probabilidade de que mais de quatro clientes cheguem durante cada um dos quatro primeiros minutos?
b) Qual é a probabilidade de que mais de quatro clientes cheguem durante o primeiro minuto?
c) Qual é a probabilidade de que mais de quatro clientes cheguem durante cada um dos quatro primeiros minutos?
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos três perguntas sobre a probabilidade de certos números de clientes chegarem em intervalos específicos de tempo. O conteúdo aqui envolve Probabilidade, mais especificamente o Processo de Poisson, que é ótimo para modelar eventos que acontecem aleatoriamente ao longo do tempo, como a chegada de clientes. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da distribuição de Poisson:
onde:
- $ P(k; \lambda) $ é a probabilidade de $ k $ eventos ocorrerem,
- $ \lambda $ é a taxa média de eventos por intervalo,
- $ e $ é a base dos logaritmos naturais,
- $ k! $ é o fatorial de $ k $.
Vamos resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
Parte a) Qual é a probabilidade de que três, quatro ou cinco clientes cheguem durante o terceiro minuto?
Primeiro, vamos entender o que a questão tá pedindo. Queremos saber a probabilidade de ter 3, 4 ou 5 clientes chegando no terceiro minuto. Como cada minuto é independente, a probabilidade de chegada no terceiro minuto é a mesma dos outros.
Usando a distribuição de Poisson, a probabilidade de exatamente $ k $ clientes chegar em um minuto é:
Então, a probabilidade de 3, 4 ou 5 clientes é a soma das probabilidades individuais:
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:
Passo 3
Parte b) Qual é a probabilidade de que mais de quatro clientes cheguem durante o primeiro minuto?
Aqui, queremos saber a probabilidade de mais de 4 clientes chegarem no primeiro minuto. Isso significa que $ k $ pode ser 5, 6, 7, e assim por diante, até o infinito. Mas calcular até o infinito não é prático, então usamos a ideia de complementar.
A probabilidade de mais de 4 é igual a 1 menos a probabilidade de 4 ou menos:
Onde:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Então:
Passo 4
Parte c) Qual é a probabilidade de que mais de quatro clientes cheguem durante cada um dos quatro primeiros minutos?
Agora, a gente quer a probabilidade de ter mais de 4 clientes chegando em todos os quatro primeiros minutos. Isso significa que, para cada minuto individualmente, mais de 4 clientes chegam. Como os minutos são independentes, podemos multiplicar as probabilidades individuais.
Primeiro, encontramos a probabilidade de mais de 4 clientes em um minuto, que já calculamos na parte b):
Agora, como queremos isso acontecer nos quatro primeiros minutos:
Substituindo:
Resposta
a) A probabilidade de que três, quatro ou cinco clientes cheguem durante o terceiro minuto é:
b) A probabilidade de que mais de quatro clientes cheguem durante o primeiro minuto é:
c) A probabilidade de que mais de quatro clientes cheguem durante cada um dos quatro primeiros minutos é: