& (a) dd t(A(t) pm B(t))=d Ad t pm d Bd t, (b) dd t(c(t) A(t))=d cd t A+c d Ad t & (c) dd t(A(t) cdot B(t))=d Ad t cdot B+A cdot d Bd t & (d) dd t(A(t) times B(t))=d Ad t times B+A times d Bd t

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Aqui temos quatro fórmulas que mostram como derivar expressões que envolvem vetores e operações entre eles. O conteúdo aqui é de cálculo vetorial, especificamente as regras de derivação para soma de vetores, multiplicação por escalar, produto escalar e produto vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a derivada em cada uma dessas operações.

Passo 2

Parte (a): Derivada da soma ou subtração de vetores
A primeira parte nos mostra como derivar a soma ou subtração de dois vetores que dependem do tempo, A(t) e B(t). A regra diz que a derivada da soma (ou subtração) é a soma (ou subtração) das derivadas individuais.
Isso faz sentido porque a derivada mede como algo muda. Se você tem dois vetores que estão mudando ao mesmo tempo, a taxa de mudança total é a soma das taxas de cada um.
Então, matematicamente:
ddt(A(t) pm B(t)) = dAdt pm dBdt

Passo 3

Parte (b): Derivada de um escalar multiplicando um vetor
Agora, vamos ver a segunda parte. Aqui temos um escalar c(t) multiplicando um vetor A(t). A regra mostra que a derivada desse produto é a derivada do escalar multiplicada pelo vetor mais o escalar multiplicado pela derivada do vetor.
Isso é parecido com a regra do produto em cálculo básico, onde a derivada de u cdot v é u' cdot v + u cdot v'.
Aplicando isso aos vetores:
ddt(c(t) A(t)) = dcdt A + c dAdt

Passo 4

Parte ©: Derivada do produto escalar de dois vetores
Na terceira parte, temos o produto escalar de dois vetores A(t) e B(t). A regra nos diz que a derivada desse produto é a derivada de A escalarizado com B mais A escalarizado com a derivada de B.
Isso é semelhante à regra do produto que usamos antes, mas agora aplicada ao produto escalar, que é uma operação entre dois vetores que resulta em um escalar.
Então:
ddt(A(t) cdot B(t)) = dAdt cdot B + A cdot dBdt

Passo 5

Parte (d): Derivada do produto vetorial de dois vetores
Finalmente, a quarta parte trata do produto vetorial, que é outra operação entre dois vetores que resulta em um vetor perpendicular aos dois originais. A regra aqui é similar às anteriores: a derivada do produto vetorial é a derivada de A cruzado com B mais A cruzado com a derivada de B.
Então temos:
ddt(A(t) times B(t)) = dAdt times B + A times dBdt

Resposta

Aplicando as regras de derivação para operações vetoriais, temos:
(a) ddt(A pm B) = dAdt pm dBdt
(b) ddt(c A) = dcdt A + c dAdt
© ddt(A cdot B) = dAdt cdot B + A cdot dBdt
(d) ddt(A times B) = dAdt times B + A times dBdt

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