Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Aqui temos quatro fórmulas que mostram como derivar expressões que envolvem vetores e operações entre eles. O conteúdo aqui é de cálculo vetorial, especificamente as regras de derivação para soma de vetores, multiplicação por escalar, produto escalar e produto vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a derivada em cada uma dessas operações.
Passo 2
Parte (a): Derivada da soma ou subtração de vetores
A primeira parte nos mostra como derivar a soma ou subtração de dois vetores que dependem do tempo,
e
. A regra diz que a derivada da soma (ou subtração) é a soma (ou subtração) das derivadas individuais.
Isso faz sentido porque a derivada mede como algo muda. Se você tem dois vetores que estão mudando ao mesmo tempo, a taxa de mudança total é a soma das taxas de cada um.
Então, matematicamente:
Passo 3
Parte (b): Derivada de um escalar multiplicando um vetor
Agora, vamos ver a segunda parte. Aqui temos um escalar
multiplicando um vetor
. A regra mostra que a derivada desse produto é a derivada do escalar multiplicada pelo vetor mais o escalar multiplicado pela derivada do vetor.
Isso é parecido com a regra do produto em cálculo básico, onde a derivada de
é
.
Aplicando isso aos vetores:
Passo 4
Parte ©: Derivada do produto escalar de dois vetores
Na terceira parte, temos o produto escalar de dois vetores
e
. A regra nos diz que a derivada desse produto é a derivada de
escalarizado com
mais
escalarizado com a derivada de
.
Isso é semelhante à regra do produto que usamos antes, mas agora aplicada ao produto escalar, que é uma operação entre dois vetores que resulta em um escalar.
Então:
Passo 5
Parte (d): Derivada do produto vetorial de dois vetores
Finalmente, a quarta parte trata do produto vetorial, que é outra operação entre dois vetores que resulta em um vetor perpendicular aos dois originais. A regra aqui é similar às anteriores: a derivada do produto vetorial é a derivada de
cruzado com
mais
cruzado com a derivada de
.
Então temos:
Resposta
Aplicando as regras de derivação para operações vetoriais, temos:
(a)
(b)
©
(d)