Considere a curva C de parametrização r(t)=(sen t-t cos t, cos t+t sen t, t^22), com t >= 0.
Reparametrize a curva pelo comprimento de arco.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva $ C $ definida por uma parametrização C e o objetivo é reparametrizá-la pelo comprimento de arco. Isso significa que, ao invés de usar o parâmetro $ t $, vamos usar o comprimento da curva até um ponto $ s $ para descrever a posição na curva. Para isso, vamos precisar entender conceitos de derivada, norma de vetores e integração. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos anotar a parametrização da curva:
r(t) = ( sin t - t cos t, cos t + t sin t, t^22 )
Para reparametrizar pela arc length, precisamos calcular a derivada dessa função em relação a $ t $, ou seja, $ \vec{r},’(t) $.

Passo 3

Vamos derivar cada componente de r(t):
  1. Primeira componente:
    ddt (sin t - t cos t) = cos t - (cos t - t sin t) = t sin t
  2. Segunda componente:
    ddt (cos t + t sin t) = -sin t + (sin t + t cos t) = t cos t
  3. Terceira componente:
    ddt ( t^22 ) = t
Então, a derivada da curva é:
r,'(t) = ( t sin t, t cos t, t )

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a velocidade da curva, que é a norma do vetor derivada, $ |\vec{r},’(t)| $. A norma de um vetor $ (a, b, c) $ é dada por:
|r,'(t)|
Aplicando isso à nossa derivada:
(a, b, c)
Podemos fatorar $ t^{2} $:
|r,'(t)| = raiza^2 + b^2 + c^2
Porque sabemos que $ \sin^{2} t + \cos^{2} t = 1 $.

Passo 5

O próximo passo é calcular o comprimento de arco $ s(t) $ desde $ t = 0 $ até um ponto $ t $. A fórmula para o comprimento de arco é:
s(t)
Substituindo a velocidade que encontramos:
t = 0
A integral de $ u $ é:
t
Então:
s(t) = integral0^t |r,'(u)| , du

Passo 6

Agora, queremos expressar $ t $ em função de $ s $, ou seja, encontrar $ t(s) $. A relação que temos é:
t
Resolvendo para $ t $:
s
Simplificando, sabemos que $ 2^{1/4} = \sqrt{\sqrt{2}} $, mas podemos deixar como $ \sqrt{2} $ se preferir.

Passo 7

Finalmente, substituímos $ t(s) $ na parametrização original para obter a reparametrização em termos de $ s $:
t(s)
Substituindo $ t(s) = 2^{1/4} \sqrt{s} $:
s
Simplificando a terceira componente:
r(s) = ( sin t(s) - t(s) cos t(s), cos t(s) + t(s) sin t(s), t(s)^22 )

Resposta

A reparametrização da curva pelo comprimento de arco $ s $ é:
s

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