Considere a curva
de parametrização
,
.
Reparametrize a curva pelo comprimento de arco.
Reparametrize a curva pelo comprimento de arco.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva $ C $ definida por uma parametrização
e o objetivo é reparametrizá-la pelo comprimento de arco. Isso significa que, ao invés de usar o parâmetro $ t $, vamos usar o comprimento da curva até um ponto $ s $ para descrever a posição na curva. Para isso, vamos precisar entender conceitos de derivada, norma de vetores e integração. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos anotar a parametrização da curva:
Para reparametrizar pela arc length, precisamos calcular a derivada dessa função em relação a $ t $, ou seja, $ \vec{r},’(t) $.
Passo 3
Vamos derivar cada componente de
:
-
Primeira componente:
-
Segunda componente:
-
Terceira componente:
Então, a derivada da curva é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a velocidade da curva, que é a norma do vetor derivada, $ |\vec{r},’(t)| $. A norma de um vetor $ (a, b, c) $ é dada por:
Aplicando isso à nossa derivada:
Podemos fatorar $ t^{2} $:
Porque sabemos que $ \sin^{2} t + \cos^{2} t = 1 $.
Passo 5
O próximo passo é calcular o comprimento de arco $ s(t) $ desde $ t = 0 $ até um ponto $ t $. A fórmula para o comprimento de arco é:
Substituindo a velocidade que encontramos:
A integral de $ u $ é:
Então:
Passo 6
Agora, queremos expressar $ t $ em função de $ s $, ou seja, encontrar $ t(s) $. A relação que temos é:
Resolvendo para $ t $:
Simplificando, sabemos que $ 2^{1/4} = \sqrt{\sqrt{2}} $, mas podemos deixar como $ \sqrt{2} $ se preferir.
Passo 7
Finalmente, substituímos $ t(s) $ na parametrização original para obter a reparametrização em termos de $ s $:
Substituindo $ t(s) = 2^{1/4} \sqrt{s} $:
Simplificando a terceira componente:
Resposta
A reparametrização da curva pelo comprimento de arco $ s $ é: