(2 pontos) Use a Transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial:
y^prime prime-2 y^prime+2 y=0, y(0)=0, y^prime(0)=1
Formulas:
L(f)=integral0^infty e^-a t f(t) d t, L(e^a t)=1s-a, L(sen(a t))=as^2+a^2,

Passo 1

O enunciado pede para usar a Transformada de Laplace para resolver a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + 2y = 0, y(0)=0, y'(0)=1
O conteúdo envolvido é a Transformada de Laplace e as propriedades de transformada de derivadas.

Passo 2

Primeiro aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Denotando Y(s)=Ly(t), usamos:
Ly'' = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0),
Ly' = sY(s) - y(0),
Ly = Y(s)
Substituindo na EDO:

Passo 3

Após substituir e usar as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1, obtemos
(s^2Y(s) - 0 - 1) - 2(sY(s) - 0) + 2Y(s) = 0
que simplifica para
(s^2 - 2s + 2)Y(s) = 1
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Y(s) = 1s^2 - 2s + 2 = 1(s-1)^2 + 1

Passo 4

Agora reconhecemos que
Le^t,sin t = 1(s-1)^2 + 1
e portanto a função original é
y(t) = e^t,sin t

Resposta

y(t)=e^{t},\sin t

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