dd x sen(raizx^3+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função sen(raizx^3+1). Aqui a gente vai usar o conteúdo de derivadas, especialmente a regra da cadeia, que é quando você tem uma função composta, tipo uma função dentro da outra. Vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas e radicais.

Passo 2

Primeiro, identifique as funções que estão compostas. A função principal aqui é o seno, sen(u), onde u = raizx^3 + 1. Então, para derivar sen(u) em relação a x, a gente aplica a regra da cadeia: a derivada do seno é o cosseno da função interna vezes a derivada da função interna.

Passo 3

Vamos derivar o que está dentro do seno, ou seja, u = raizx^3 + 1. Podemos reescrever raizx^3 + 1 como (x^3 + 1)^1/2. Agora, usamos a regra do poder: a derivada de (f(x))^n é n cdot (f(x))^n-1 cdot f'(x). Aqui, n = 12 e f(x) = x^3 + 1.

Passo 4

Calculando a derivada de u, temos:
dudx = 12 cdot (x^3 + 1)^-1/2 cdot ddx(x^3 + 1)
A derivada de x^3 + 1 é 3x^2.

Passo 5

Substituindo de volta, a derivada de u fica:
dudx = 12 cdot (x^3 + 1)^-1/2 cdot 3x^2 = 3x^22raizx^3 + 1

Passo 6

Agora, voltando à derivada da função original usando a regra da cadeia:
ddx sen(raizx^3+1) = cos(raizx^3+1) cdot dudx
Substituindo dudx:
ddx sen(raizx^3+1) = cos(raizx^3+1) cdot 3x^22raizx^3 + 1

Resposta

A derivada é:
ddx sen(raizx^3+1) = 3x^2 cdot cos(raizx^3+1)2raizx^3 + 1

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