Determine uma solução geral para seguinte equação diferencial d yd x=y cdot e^x
Escolha uma opção:
y=C cos x
y=C e^e^x
y=1raiz2 x+C
Nenhuma das demais alternativas
y^2=2 e^x+C
y^2=2 x+C

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial que diz: dydx = y cdot e^x. O conteúdo dessa matéria é equações diferenciais, especificamente as equações separáveis. Para resolver isso, a gente vai precisar separar as variáveis y e x e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis. Isso significa colocar todos os termos com y de um lado e os termos com x do outro. A equação fica assim:
dyy = e^x dx

Passo 3

Agora, vamos integrar os dois lados da equação. A integral de 1y dy é ln|y|, e a integral de e^x dx é e^x. Assim, temos:
ln|y| = e^x + C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para resolver para y, vamos tirar o logaritmo natural. Isso significa que y é igual a e elevado a e^x + C:
y = e^e^x + C
Podemos simplificar isso usando as propriedades dos exponentes, sabendo que e^a + b = e^a cdot e^b. Então:
y = e^e^x cdot e^C
Como e^C é apenas uma constante, podemos chamar de C. Assim, a solução geral fica:
y = C e^e^x

Resposta

y = C e^e^x

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