Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( 10 pontos) ( ) Se a \sum\left(a_{n}\right)^{2} converge, então a série \sum a_{n} converge absolutamente.

Passo 1

O enunciado afirma: “Se a \sum\left(a_{n}\right)^{2} converge, então a série \sum a_{n} converge absolutamente.”
Isso dá uma hipótese e pede para decidir se a implicação é sempre verdadeira ou não. Precisamos escolher entre: (a) a afirmação é sempre verdadeira (provar isso) ou (b) a afirmação é às vezes falsa (dar um contra-exemplo). Tudo o que o enunciado fornece é a hipótese de que \sum\left(a_{n}\right)^{2} converge; não há mais condições sobre (a_n).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada coisa significa — devagar e com calma, como combinamos:
  • “A série \sum\left(a_{n}\right)^{2} converge” quer dizer que a soma infinita dos quadrados dos termos converge, isto é, a sequência das somas parciais \left(S_N=\sum_{n=1}^{N} (a_n)^2\right) tem limite finito quando N\to\infty. Em notação: \sum_{n=1}^{\infty} (a_n)^2<\infty.
  • “A série \sum a_n converge absolutamente” significa que a série formada pelos valores absolutos converge: \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|<\infty. Observe que “convergência absoluta” é mais forte do que só “convergência” (se \sum |a_n| converge então \sum a_n converge), mas nem toda série convergente é absolutamente convergente.
Nosso objetivo é verificar se a convergência de \sum (a_n)^2 garante sempre \sum |a_n|<\infty, ou se existe algum exemplo em que \sum (a_n)^2 converge mas \sum |a_n| diverge.

Passo 3

Uma boa estratégia é tentar um contra-exemplo simples. Uma família clássica para testar esse tipo de relação é a dos termos a_n = \dfrac{1}{n^p} (as chamadas séries tipo “p‑série”). Vamos escolher a_n=\dfrac{1}{n}. Nesse caso temos:
\displaystyle (a_n)^2=\dfrac{1}{n^2}. Então vamos verificar duas coisas: (i) se \sum \dfrac{1}{n^2} converge; (ii) se \sum \dfrac{1}{n} converge.

Passo 4

Mostrando que \sum \dfrac{1}{n^2} converge. Use o teste da integral (fácil e clássico): considere a função f(x)=\dfrac{1}{x^2} para x\ge1. Essa função é positiva, contínua e decrescente, então podemos comparar a série com a integral impropriamente:
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx
Calcule a integral: antiderivada de x^{-2} é -x^{-1}. Então
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{t\to\infty}\left(-\frac{1}{x}\right)\Big|_{1}^{t}=\lim_{t\to\infty}\left(-\frac{1}{t}+\frac{1}{1}\right)=1.
Como essa integral é finita, pelo teste da integral (ou pelo resultado padrão das p‑séries) concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}<\infty.
Portanto \sum (a_n)^2 converge para essa escolha a_n=1/n.

Passo 5

Mostrando que \sum \dfrac{1}{n} diverge (o clássico “série harmônica”). Um argumento simples e bem didático: agrupe termos em blocos cujos tamanhos dobram.
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} =1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots
Note que no bloco \frac{1}{3}+\frac{1}{4} cada termo é pelo menos \frac{1}{4}, então esse bloco soma pelo menos \,2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}. No bloco seguinte (quatro termos de \frac{1}{5} a \frac{1}{8}) cada termo é pelo menos \frac{1}{8}, então esse bloco soma pelo menos 4\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{2}. Em geral, cada bloco com 2^{k-1} termos soma pelo menos \frac{1}{2}. Assim a soma parcial cresce sem limite, porque somamos uma quantidade infinita de blocos que valem pelo menos \frac{1}{2} cada um. Logo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=\infty,
ou seja, a série harmônica diverge.

Passo 6

Juntando os passos: para a_n=\dfrac{1}{n} temos \sum (a_n)^2=\sum \dfrac{1}{n^2} que converge, mas \sum |a_n|=\sum \dfrac{1}{n} que diverge. Portanto a hipótese do enunciado não garante a conclusão: a implicação é falsa. Este contra-exemplo é suficiente para responder a pergunta.

Resposta

Falsa. Contraexemplo: a_n=\dfrac{1}{n}, pois \sum (a_n)^2=\sum \dfrac{1}{n^2} converge e \sum |a_n|=\sum \dfrac{1}{n} diverge.

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