Considere a sequência \left(b_{n}\right): b_{n}=\frac{n \cos (n)}{1+n^{3}}.
(a) ( 10 pontos) Mostre que a sequência ( b_{n} ) converge.
(b) ( 10 pontos) Mostre que a série \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} converge.
(c) ( 3 pontos) Aproxime a soma da série usando a soma dos dez primeiros termos.

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left(b_{n}\right) definida por
b_{n}=\frac{n\cos(n)}{1+n^{3}}.
As perguntas são:
(a) Mostrar que a sequência \left(b_{n}\right) converge (ou seja, encontrar \lim_{n\to\infty} b_{n}).\n
(b) Mostrar que a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} converge.\n
(c) Aproximar a soma da série usando a soma dos dez primeiros termos (ou seja, calcular S_{10}=\sum_{n=1}^{10} b_{n} numericamente).

Passo 2

Primeiro vamos estudar o comportamento de b_{n} quando n\to\infty. Uma observação simples e fundamental é que para todo x real vale |\cos(x)|\le 1. Aplicando isso a \cos(n) obtemos
|b_{n}|=\left|\frac{n\cos(n)}{1+n^{3}}\right|\le\frac{n\cdot 1}{1+n^{3}}=\frac{n}{1+n^{3}}.
Agora use uma desigualdade simples para o denominador: para n\ge 1 temos 1+n^{3}\ge n^{3}. Portanto
\frac{n}{1+n^{3}}\le\frac{n}{n^{3}}=\frac{1}{n^{2}}.
Concluímos que, para n\ge1,
|b_{n}|\le\frac{1}{n^{2}}.

Passo 3

Com a desigualdade do Passo 2 em mãos podemos falar de limites. Sabemos que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}}=0. Como |b_{n}|\le\frac{1}{n^{2}} e o lado direito tende a 0, pela propriedade do valor absoluto e do limite seguem que b_{n}\to 0. Mais formalmente:
-\frac{1}{n^{2}}\le b_{n}\le\frac{1}{n^{2}}\quad\text{e}\quad\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}}=0,
então, pelo Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche),
\lim_{n\to\infty} b_{n}=0.
Isso responde a parte (a): a sequência converge e o limite é 0.

Passo 4

Agora vamos à série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}. Uma ideia natural é testar a convergência absoluta, pois se \sum |b_{n}| converge então \sum b_{n} converge absolutamente e, portanto, converge. Usamos a desigualdade do Passo 2:
|b_{n}|\le\frac{1}{n^{2}}.
Sabemos do teste da série p (p-series) que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} converge quando p>1. Aqui p=2>1, logo \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} converge. Pelo Teste da Comparação (comparando termo a termo com uma série convergente não-negativa) obtemos que
\sum_{n=1}^{\infty}|b_{n}|
converge. Portanto a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} converge absolutamente e, em particular, converge. Isso resolve a parte (b).

Passo 5

Vou agora aproximar a soma da série pela soma dos dez primeiros termos:
S_{10}=\sum_{n=1}^{10} b_{n}=\sum_{n=1}^{10}\frac{n\cos(n)}{1+n^{3}}.
Para isso preciso dos valores de \cos(n) em radianos para n=1,2,\dots,10. Vou usar os valores numéricos padrão (valores de \cos em radianos): \cos(1)\approx 0,540302306, \cos(2)\approx -0,416146837, \cos(3)\approx -0,989992497, \cos(4)\approx -0,653643621, \cos(5)\approx 0,283662185, \cos(6)\approx 0,960170287, \cos(7)\approx 0,753902254, \cos(8)\approx -0,145500034, \cos(9)\approx -0,911130262, \cos(10)\approx -0,839071529.

Passo 6

Calculo termo a termo usando os denominadores 1+n^{3}. Vou mostrar os cálculos aproximados (arredondando cada termo em torno de 6–9 casas decimais quando necessário):
\begin{aligned} b_{1}&=\frac{1\cdot\cos(1)}{1+1^{3}}=\frac{0,540302306}{2}\approx 0,270151153,\\[4pt] b_{2}&=\frac{2\cdot\cos(2)}{1+2^{3}}=\frac{2\cdot(-0,416146837)}{9}\approx -0,092477076,\\[4pt] b_{3}&=\frac{3\cdot\cos(3)}{1+3^{3}}=\frac{3\cdot(-0,989992497)}{28}\approx -0,106071340,\\[4pt] b_{4}&=\frac{4\cdot\cos(4)}{1+4^{3}}=\frac{4\cdot(-0,653643621)}{65}\approx -0,040222684,\\[4pt] b_{5}&=\frac{5\cdot\cos(5)}{1+5^{3}}=\frac{5\cdot 0,283662185}{126}\approx 0,011252468,\\[4pt] b_{6}&=\frac{6\cdot\cos(6)}{1+6^{3}}=\frac{6\cdot 0,960170287}{217}\approx 0,026548500,\\[4pt] b_{7}&=\frac{7\cdot\cos(7)}{1+7^{3}}=\frac{7\cdot 0,753902254}{344}\approx 0,015339100,\\[4pt] b_{8}&=\frac{8\cdot\cos(8)}{1+8^{3}}=\frac{8\cdot(-0,145500034)}{513}\approx -0,002269791,\\[4pt] b_{9}&=\frac{9\cdot\cos(9)}{1+9^{3}}=\frac{9\cdot(-0,911130262)}{730}\approx -0,011232992,\\[4pt] b_{10}&=\frac{10\cdot\cos(10)}{1+10^{3}}=\frac{10\cdot(-0,839071529)}{1001}\approx -0,008382333. \end{aligned}]

Passo 7

Agora somo os dez termos para obter S_{10}. Vou acumular passo a passo (aproximações com algumas casas decimais):
\begin{aligned} S_{1}&=0{,}270151153,\\\ S_{2}&=S_{1}-0{,}092477076=0{,}177674077,\\\ S_{3}&=S_{2}-0{,}106071340=0{,}071602737,\\\ S_{4}&=S_{3}-0{,}040222684=0{,}031380053,\\\ S_{5}&=S_{4}+0{,}011252468=0{,}042632521,\\\ S_{6}&=S_{5}+0{,}026548500=0{,}069181021,\\\ S_{7}&=S_{6}+0{,}015339100=0{,}084520121,\\\ S_{8}&=S_{7}-0{,}002269791=0{,}082250330,\\\ S_{9}&=S_{8}-0{,}011232992=0{,}071017338,\\\ S_{10}&=S_{9}-0{,}008382333\approx 0{,}062635005. \end{aligned}
Portanto a soma dos dez primeiros termos é aproximadamente S_{10}\approx 0{,}062635.

Passo 8

Para ter uma ideia do erro ao usar S_{10} como aproximação da soma total S=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}, usamos que a série é absolutamente convergente e que |b_{n}|\le 1/n^{2}. Assim o restante em módulo satisfaz
\left|S-S_{10}\right|\le\sum_{n=11}^{\infty}|b_{n}|\le\sum_{n=11}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.
Uma estimativa simples por integral dá
\sum_{n=11}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\le\int_{10}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx=\frac{1}{10}=0{,}1.
Logo o erro absoluto ao usar S_{10} é, no máximo, cerca de 0{,}1. (Essa é uma estimativa grosseira; com mais termos ou técnicas de aceleração pode-se reduzir muito esse erro.)

Resposta

(a) \displaystyle\lim_{n\to\infty} b_{n}=0.\n
(b) A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} converge (na verdade converge absolutamente, pois \sum |b_{n}|\le\sum 1/n^{2}<\infty).\n
(c) \displaystyle\sum_{n=1}^{10} b_{n}\approx 0{,}062635.

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