Considere a sequência \left(b_{n}\right): b_{n}=\frac{n \cos (n)}{1+n^{3}}.
(a) ( 10 pontos) Mostre que a sequência ( b_{n} ) converge.
(b) ( 10 pontos) Mostre que a série \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} converge.
(c) ( 3 pontos) Aproxime a soma da série usando a soma dos dez primeiros termos.
Passo 1
O enunciado dá a sequência \left(b_{n}\right) definida por
b_{n}=\frac{n\cos(n)}{1+n^{3}}.
As perguntas são:
(a) Mostrar que a sequência \left(b_{n}\right) converge (ou seja, encontrar \lim_{n\to\infty} b_{n}).\n
(b) Mostrar que a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} converge.\n
(c) Aproximar a soma da série usando a soma dos dez primeiros termos (ou seja, calcular S_{10}=\sum_{n=1}^{10} b_{n} numericamente).
Passo 2
Primeiro vamos estudar o comportamento de b_{n} quando n\to\infty. Uma observação simples e fundamental é que para todo x real vale |\cos(x)|\le 1. Aplicando isso a \cos(n) obtemos
Com a desigualdade do Passo 2 em mãos podemos falar de limites. Sabemos que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}}=0. Como |b_{n}|\le\frac{1}{n^{2}} e o lado direito tende a 0, pela propriedade do valor absoluto e do limite seguem que b_{n}\to 0. Mais formalmente:
então, pelo Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche),
\lim_{n\to\infty} b_{n}=0.
Isso responde a parte (a): a sequência converge e o limite é 0.
Passo 4
Agora vamos à série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}. Uma ideia natural é testar a convergência absoluta, pois se \sum |b_{n}| converge então \sum b_{n} converge absolutamente e, portanto, converge. Usamos a desigualdade do Passo 2:
|b_{n}|\le\frac{1}{n^{2}}.
Sabemos do teste da série p (p-series) que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} converge quando p>1. Aqui p=2>1, logo \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} converge. Pelo Teste da Comparação (comparando termo a termo com uma série convergente não-negativa) obtemos que
\sum_{n=1}^{\infty}|b_{n}|
converge. Portanto a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} converge absolutamente e, em particular, converge. Isso resolve a parte (b).
Passo 5
Vou agora aproximar a soma da série pela soma dos dez primeiros termos:
Para isso preciso dos valores de \cos(n) em radianos para n=1,2,\dots,10. Vou usar os valores numéricos padrão (valores de \cos em radianos): \cos(1)\approx 0,540302306, \cos(2)\approx -0,416146837, \cos(3)\approx -0,989992497, \cos(4)\approx -0,653643621, \cos(5)\approx 0,283662185, \cos(6)\approx 0,960170287, \cos(7)\approx 0,753902254, \cos(8)\approx -0,145500034, \cos(9)\approx -0,911130262, \cos(10)\approx -0,839071529.
Passo 6
Calculo termo a termo usando os denominadores 1+n^{3}. Vou mostrar os cálculos aproximados (arredondando cada termo em torno de 6–9 casas decimais quando necessário):
Portanto a soma dos dez primeiros termos é aproximadamente S_{10}\approx 0{,}062635.
Passo 8
Para ter uma ideia do erro ao usar S_{10} como aproximação da soma total S=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}, usamos que a série é absolutamente convergente e que |b_{n}|\le 1/n^{2}. Assim o restante em módulo satisfaz
Logo o erro absoluto ao usar S_{10} é, no máximo, cerca de 0{,}1. (Essa é uma estimativa grosseira; com mais termos ou técnicas de aceleração pode-se reduzir muito esse erro.)
Resposta
(a) \displaystyle\lim_{n\to\infty} b_{n}=0.\n
(b) A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} converge (na verdade converge absolutamente, pois \sum |b_{n}|\le\sum 1/n^{2}<\infty).\n
(c) \displaystyle\sum_{n=1}^{10} b_{n}\approx 0{,}062635.