Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( 10 pontos) ( ) A sequência \left(x_{n}\right): x_{n}=\cos (n) converge.

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left(x_{n}\right) definida por
x_{n}=\cos(n)
para n\in\mathbb{N}. A pergunta é: a sequência \left(x_{n}\right) converge?
Informações relevantes que temos: os argumentos de \cos são os números inteiros n (em radianos). Precisamos decidir se existe L\in\mathbb{R} tal que \lim_{n\to\infty}\cos(n)=L.

Passo 2

Lembrete do que significa convergência: dizemos que \left(x_n\right) converge para L se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que |x_n-L|<\varepsilon para todo n\ge N. Uma forma prática de mostrar que uma sequência NÃO converge é encontrar duas subsequências que convergem para limites distintos. Se eu conseguir uma subsequência com limite 1 e outra com limite -1, por exemplo, já estará provado que a sequência original não converge.

Passo 3

Observação trigonométrica útil (muito intuitiva): \cos(t) fica próximo de 1 quando t está próximo de um múltiplo inteiro de 2\pi, isto é, quando t\approx 2k\pi. E \cos(t) fica próximo de -1 quando t está próximo de um múltiplo ímpar de \pi, isto é, quando t\approx (2k+1)\pi. Assim, se eu encontrar inteiros n arbitrariamente próximos de múltiplos inteiros de 2\pi, terei \cos(n) arbitrariamente próximos de 1. Se também encontrar inteiros m arbitrariamente próximos de múltiplos ímpares de \pi, terei \cos(m) arbitrariamente próximos de -1. Isso produziria duas subsequências com limites diferentes.

Passo 4

Agora precisamos de um fato sobre aproximação por inteiros: como \pi é irracional, os números 1/(2\pi) e 1/\pi são irracionais. Um resultado padrão (provável já visto em análise ou teoria dos números) é: se \alpha é irracional, então a sequência dos restos fracionários \{n\alpha\} (isto é, n\alpha módulo 1) é densa em [0,1]. Vou dar um esboço do argumento elementar (pigeonhole) que mostra a parte necessária: para qualquer \varepsilon>0 existe inteiro m>0 tal que a distância entre m\alpha e o inteiro mais próximo é menor que \varepsilon. O raciocínio é este: para N grande considere as frações \{0\},\{\alpha\},\{2\alpha\},\dots,\{N\alpha\} no intervalo [0,1). Particione [0,1) em N subintervalos iguais; por princípio da casa dos pombos, dois desses restos fracionários caem no mesmo subintervalo, digamos \{i\alpha\} e \{j\alpha\} com i<j. Então \{(j-i)\alpha\} é menor que 1/N. Como N era arbitrário, existem inteiros m=j-i tais que \{m\alpha\} é tão pequeno quanto quisermos, isto é, m\alpha fica arbitrariamente próximo de um inteiro. Isso prova que 0 é ponto de acumulação dos \{m\alpha\}; uma versão refinada deste argumento (ou apenas repetindo o argumento dirigindo-se a outros alvos) dá densidade, isto é, garante que para qualquer alvo t\in[0,1] e \varepsilon>0 existe n com |\{n\alpha\}-t|<\varepsilon.
Em resumo: para \alpha=1/(2\pi) e para \alpha'=1/\pi (ambas irracionais) a sequência de restos fracionários \{n\alpha\} e \{n\alpha'\} é densa em [0,1]. Assim podemos aproximar arbitrariamente bem tanto 0 quanto 1/2 por restos fracionários dessas sequências.

Passo 5

Aplicando o que dissemos:
  • Para aproximar 1: tome \alpha=1/(2\pi). A densidade de \{n\alpha\} implica que existem inteiros n_k tais que a parte fracionária de n_k/(2\pi) tende a 0. Isso significa que n_k fica arbitrariamente próximo de algum múltiplo inteiro de 2\pi. Portanto n_k = 2\pi p_k + \delta_k com \delta_k\to 0 quando k\to\infty. Como \cos é contínua, temos
\cos(n_k)=\cos(2\pi p_k+\delta_k)=\cos(\delta_k)\longrightarrow \cos(0)=1.
Logo existe uma subsequência \left(x_{n_k}\right) que converge para 1.
  • Para aproximar -1: tome \alpha'=1/\pi. A densidade de \{n\alpha'\} implica que existem inteiros m_k tais que a parte fracionária de m_k/\pi tende a 1/2. Isso significa que m_k fica arbitrariamente próximo de um número da forma (2q_k+1)\pi. Escrevemos m_k=(2q_k+1)\pi+\eta_k com \eta_k\to0. Pela continuidade de \cos,
\cos(m_k)=\cos((2q_k+1)\pi+\eta_k)=\cos(\pi+\eta_k)=-\cos(\eta_k)\longrightarrow -\cos(0)=-1.
Logo existe outra subsequência \left(x_{m_k}\right) que converge para -1.

Passo 6

Concluímos que a sequência \left(x_n\right) possui pelo menos duas subsequências com limites distintos: uma que tende a 1 e outra que tende a -1. Por consequência, \left(x_n\right) não pode convergir (uma sequência convergente teria todas as suas subsequências convergentes para o mesmo limite). Portanto a afirmação “a sequência \cos(n) converge” é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa: a sequência \left(x_n\right) com x_n=\cos(n) não converge.

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