Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( 10 pontos) ( ) A sequência
converge.
( 10 pontos) ( ) A sequência
Passo 1
O enunciado dá a sequência
definida por
para
. A pergunta é: a sequência
converge?
Informações relevantes que temos: os argumentos de são os números inteiros
(em radianos). Precisamos decidir se existe
tal que
.
Informações relevantes que temos: os argumentos de
Passo 2
Lembrete do que significa convergência: dizemos que
converge para
se, para todo
, existe
tal que
para todo
. Uma forma prática de mostrar que uma sequência NÃO converge é encontrar duas subsequências que convergem para limites distintos. Se eu conseguir uma subsequência com limite
e outra com limite
, por exemplo, já estará provado que a sequência original não converge.
Passo 3
Observação trigonométrica útil (muito intuitiva):
fica próximo de
quando
está próximo de um múltiplo inteiro de
, isto é, quando
. E
fica próximo de
quando
está próximo de um múltiplo ímpar de
, isto é, quando
. Assim, se eu encontrar inteiros
arbitrariamente próximos de múltiplos inteiros de
, terei
arbitrariamente próximos de
. Se também encontrar inteiros
arbitrariamente próximos de múltiplos ímpares de
, terei
arbitrariamente próximos de
. Isso produziria duas subsequências com limites diferentes.
Passo 4
Agora precisamos de um fato sobre aproximação por inteiros: como
é irracional, os números
e
são irracionais. Um resultado padrão (provável já visto em análise ou teoria dos números) é: se
é irracional, então a sequência dos restos fracionários
(isto é,
módulo
) é densa em
. Vou dar um esboço do argumento elementar (pigeonhole) que mostra a parte necessária: para qualquer
existe inteiro
tal que a distância entre
e o inteiro mais próximo é menor que
. O raciocínio é este: para
grande considere as frações
no intervalo
. Particione
em
subintervalos iguais; por princípio da casa dos pombos, dois desses restos fracionários caem no mesmo subintervalo, digamos
e
com
. Então
é menor que
. Como
era arbitrário, existem inteiros
tais que
é tão pequeno quanto quisermos, isto é,
fica arbitrariamente próximo de um inteiro. Isso prova que 0 é ponto de acumulação dos
; uma versão refinada deste argumento (ou apenas repetindo o argumento dirigindo-se a outros alvos) dá densidade, isto é, garante que para qualquer alvo
e
existe
com
.
Em resumo: para
e para
(ambas irracionais) a sequência de restos fracionários
e
é densa em
. Assim podemos aproximar arbitrariamente bem tanto
quanto
por restos fracionários dessas sequências.
Passo 5
Aplicando o que dissemos:
- Para aproximar
: tome . A densidade de implica que existem inteiros tais que a parte fracionária de tende a . Isso significa que fica arbitrariamente próximo de algum múltiplo inteiro de . Portanto com quando . Como é contínua, temos
Logo existe uma subsequência
que converge para
.
- Para aproximar
: tome . A densidade de implica que existem inteiros tais que a parte fracionária de tende a . Isso significa que fica arbitrariamente próximo de um número da forma . Escrevemos com . Pela continuidade de ,
Logo existe outra subsequência
que converge para
.
Passo 6
Concluímos que a sequência
possui pelo menos duas subsequências com limites distintos: uma que tende a
e outra que tende a
. Por consequência,
não pode convergir (uma sequência convergente teria todas as suas subsequências convergentes para o mesmo limite). Portanto a afirmação “a sequência
converge” é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa: a sequência
com
não converge.