Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se o sistema A X=0 é compatível determinado, então o sistema A X=B é compatível determinado.

Passo 1

O enunciado afirma: seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se o sistema A X = 0 é compatível determinado, então o sistema A X = B é compatível determinado. O conteúdo é teoria de sistemas lineares, classificação de compatibilidade e ligação com invertibilidade de matrizes.

Passo 2

Por definição, um sistema homogêneo A X = 0 é compatível determinado quando possui exatamente uma solução. Nesse caso a única solução é a trivial \,X=0.

Passo 3

Quando o único vetor da solução de A X = 0 é X=0, temos \ker(A)=\{0\} e, portanto, \rank(A)=n. Para matriz quadrada isso equivale a \det(A)\neq 0, ou seja, A é invertível.

Passo 4

Se A é invertível, então para qualquer vetor B o sistema A X = B admite a única solução
X = A^{-1}B,
logo é compatível determinado.

Resposta

A afirmação é sempre verdadeira.

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