Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) Seja
uma matriz quadrada de ordem
. Se o sistema
é compatível determinado, então o sistema
é compatível determinado.
( ) Seja
Passo 1
O enunciado afirma: seja
uma matriz quadrada de ordem
. Se o sistema
é compatível determinado, então o sistema
é compatível determinado. O conteúdo é teoria de sistemas lineares, classificação de compatibilidade e ligação com invertibilidade de matrizes.
Passo 2
Por definição, um sistema homogêneo
é compatível determinado quando possui exatamente uma solução. Nesse caso a única solução é a trivial
.
Passo 3
Quando o único vetor da solução de
é
, temos
e, portanto,
. Para matriz quadrada isso equivale a
, ou seja,
é invertível.
Passo 4
Se
é invertível, então para qualquer vetor
o sistema
admite a única solução
logo é compatível determinado.
Resposta
A afirmação é sempre verdadeira.