Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
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.
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Passo 1
O enunciado pede para decidir se a igualdade
é sempre verdadeira ou nem sempre, onde
é uma matriz quadrada de ordem
. O conteúdo que vamos usar é a propriedade de homogeneidade do determinante.
Passo 2
A propriedade de escala do determinante diz que, para uma matriz quadrada
de ordem
e um escalar
, vale
Isto decorre da definição de determinante como soma de produtos de entradas, cada produto envolvendo exatamente uma entrada de cada linha, de modo que o fator
aparece
vezes em cada termo.
Passo 3
Aplicando essa propriedade com
, obtemos
Para que
seja sempre verdade, seria necessário
, o que implica
.
Passo 4
Se
, a igualdade falha. Por exemplo, seja
Então
logo
.
Resposta
A afirmação é às vezes falsa (falha sempre que
); só vale para matrizes de ordem
.