Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
() \operatorname{det}(2 A)=2 \operatorname{det}(A).

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a igualdade
\det(2A)=2\,\det(A)
é sempre verdadeira ou nem sempre, onde A é uma matriz quadrada de ordem n. O conteúdo que vamos usar é a propriedade de homogeneidade do determinante.

Passo 2

A propriedade de escala do determinante diz que, para uma matriz quadrada A de ordem n e um escalar c, vale
\det(cA)=c^{n}\,\det(A).
Isto decorre da definição de determinante como soma de produtos de entradas, cada produto envolvendo exatamente uma entrada de cada linha, de modo que o fator c aparece n vezes em cada termo.

Passo 3

Aplicando essa propriedade com c=2, obtemos
\det(2A)=2^{n}\,\det(A).
Para que 2^{n}\,\det(A)=2\,\det(A) seja sempre verdade, seria necessário 2^{n}=2, o que implica n=1.

Passo 4

Se n>1, a igualdade falha. Por exemplo, seja
A = I_{2} = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Então
\det(2A)=\det\bigl(2I_{2}\bigr)=2^{2}\det(I_{2})=4\cdot1=4 \quad\text{e}\quad 2\,\det(A)=2\cdot1=2,
logo \det(2A)\neq2\,\det(A).

Resposta

A afirmação é às vezes falsa (falha sempre que n>1); só vale para matrizes de ordem 1.

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