Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) Dada a equação matricial X^{2}+2 X=0, onde X é uma matriz quadrada de ordem n, não singular. Então esta equação tem única solução.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação matricial
X^{2} + 2\,X = 0,
onde X é uma matriz quadrada de ordem n não singular, e verificar se a solução é única.

Passo 2

Observe que
X^{2} + 2\,X = X\bigl(X + 2\,I\bigr).
Logo a equação fica
X\bigl(X + 2\,I\bigr) = 0.

Passo 3

Como X é invertível, podemos multiplicar à esquerda por X^{-1}$, obtendo
X + 2\,I = 0.

Passo 4

Da última igualdade segue
X = -\,2\,I.
Não há outra possibilidade, pois a única solução dessa última equação é X=-2I.

Resposta

A afirmação é sempre verdadeira: a única solução é
X = -2\,I_{n}.

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