Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) Se A, B \in M_{n}(\mathbb{R}) são tais que A \cdot B=0 (matriz nula), então A=0 ou B=0.

Passo 1

O enunciado pergunta se em M_{n}(\mathbb{R}) vale sempre que, quando A\cdot B=0 (a matriz nula), então obrigatoriamente A=0 ou B=0. O conteúdo é o de divisores de zero em anéis (aqui o anel é M_{n}(\mathbb{R})).

Passo 2

Sabemos que em um corpo (por exemplo \mathbb{R}) não há divisores de zero, mas em anéis de matrizes n\times n com n\ge2 surgem divisores de zero: existem matrizes não nulas cujo produto é a matriz nula.

Passo 3

Vamos dar um contra‐exemplo para n=2. Defina
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]0 & 0\end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}0 & 0\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Claramente A\neq0 e B\neq0, mas
AB =\begin{pmatrix}1\cdot0+0\cdot0 & 1\cdot0+0\cdot1\\[6pt] 0\cdot0+0\cdot0 & 0\cdot0+0\cdot1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Como encontramos A\neq0, B\neq0 e AB=0, a afirmação “se AB=0 então A=0 ou B=0” não vale em geral para n\ge2.

Resposta

A afirmação é às vezes falsa.

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