Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) A soma de duas matrizes simétricas de mesma ordem é uma matriz simétrica.

Passo 1

O enunciado nos pede para decidir se, dadas duas matrizes simétricas de mesma ordem, sua soma também é sempre simétrica. O conteúdo usado aqui é a definição de matriz simétrica e a propriedade da transposta em álgebra linear.

Passo 2

Seja A e B duas matrizes simétricas de ordem n. Por definição, isso significa:
A^T = A \quad\text{e}\quad B^T = B.
Uma propriedade fundamental da transposta é que, para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem,
(A + B)^T \;=\; A^T + B^T.

Passo 3

Aplicando essa propriedade às nossas matrizes simétricas, temos
(A + B)^T = A^T + B^T = A + B,
pois A^T = A e B^T = B.
Como (A+B)^T = A+B, concluímos que A+B satisfaz a definição de matriz simétrica. Portanto, a soma de duas matrizes simétricas de mesma ordem é sempre simétrica.

Resposta

A afirmação é sempre verdadeira.

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