Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) A soma de duas matrizes simétricas de mesma ordem é uma matriz simétrica.
( ) A soma de duas matrizes simétricas de mesma ordem é uma matriz simétrica.
Passo 1
O enunciado nos pede para decidir se, dadas duas matrizes simétricas de mesma ordem, sua soma também é sempre simétrica. O conteúdo usado aqui é a definição de matriz simétrica e a propriedade da transposta em álgebra linear.
Passo 2
Seja
e
duas matrizes simétricas de ordem
. Por definição, isso significa:
Uma propriedade fundamental da transposta é que, para quaisquer matrizes
e
de mesma ordem,
Passo 3
Aplicando essa propriedade às nossas matrizes simétricas, temos
pois
e
.
Como , concluímos que
satisfaz a definição de matriz simétrica. Portanto, a soma de duas matrizes simétricas de mesma ordem é sempre simétrica.
Como
Resposta
A afirmação é sempre verdadeira.