Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) O produto de duas matrizes simétricas de mesma ordem é uma matriz simétrica.

Passo 1

O enunciado pergunta se o produto de duas matrizes simétricas de mesma ordem é sempre simétrico. O que precisamos lembrar é que uma matriz A é simétrica se satisfaz
A^T = A
e usar a propriedade do transposto de um produto, que é
(AB)^T = B^T A^T.

Passo 2

Supondo A e B simétricas, temos A^T = A e B^T = B. Logo
(AB)^T = B^T A^T = B\,A.
Para que AB seja simétrica é preciso AB = (AB)^T, ou seja
AB = BA.
Como em geral duas matrizes simétricas não precisam comutar, não podemos garantir que AB=BA sempre.

Passo 3

Para ver que a afirmação é às vezes falsa, basta um contra-exemplo em ordem 2. Tome
A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt] 0 & 2\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}3 & 4 \\[6pt] 4 & 5\end{pmatrix}.
Ambas são simétricas, mas
AB = \begin{pmatrix}1\cdot3+0\cdot4 & 1\cdot4+0\cdot5 \\[4pt] 0\cdot3+2\cdot4 & 0\cdot4+2\cdot5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 4 \\\\ 8 & 10\end{pmatrix},
que não é simétrica porque 4 \neq 8.]

Resposta

(às vezes) falsa.

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