Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) O produto de duas matrizes simétricas de mesma ordem é uma matriz simétrica.
Passo 1
O enunciado pergunta se o produto de duas matrizes simétricas de mesma ordem é sempre simétrico. O que precisamos lembrar é que uma matriz A é simétrica se satisfaz
A^T = A
e usar a propriedade do transposto de um produto, que é
(AB)^T = B^T A^T.
Passo 2
Supondo A e B simétricas, temos A^T = A e B^T = B. Logo
(AB)^T = B^T A^T = B\,A.
Para que AB seja simétrica é preciso AB = (AB)^T, ou seja
AB = BA.
Como em geral duas matrizes simétricas não precisam comutar, não podemos garantir que AB=BA sempre.
Passo 3
Para ver que a afirmação é às vezes falsa, basta um contra-exemplo em ordem 2. Tome
A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt] 0 & 2\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}3 & 4 \\[6pt] 4 & 5\end{pmatrix}.