Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) Se
são tais que
(matriz nula), então
ou
.
( ) Se
Passo 1
O enunciado pergunta se em
vale sempre que, quando
(a matriz nula), então obrigatoriamente
ou
. O conteúdo é o de divisores de zero em anéis (aqui o anel é
).
Passo 2
Sabemos que em um corpo (por exemplo
) não há divisores de zero, mas em anéis de matrizes
com
surgem divisores de zero: existem matrizes não nulas cujo produto é a matriz nula.
Passo 3
Vamos dar um contra‐exemplo para
. Defina
Claramente
e
, mas
Passo 4
Como encontramos
,
e
, a afirmação “se
então
ou
” não vale em geral para
.
Resposta
A afirmação é às vezes falsa.