Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
(b) Se
é uma função decrescente em
, então
é convergente?
(b) Se
Passo 1
Beleza, então vamos lá! A gente tem uma afirmação que diz: “Se
é uma função decrescente em
, então
é convergente.” Vamos usar o conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias, para analisar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser decrescente em
. Uma função decrescente é aquela que, conforme
aumenta,
diminui. Agora, quando falamos sobre a integral
, estamos analisando o comportamento da área sob a curva de
a partir de
até o infinito.
Passo 3
Para decidir se essa integral é convergente, ou seja, se ela tem um valor finito, a gente precisa ver alguns exemplos. Uma função ser decrescente não garante, por si só, que sua integral vai convergir. Vamos ver um exemplo:
Considere
. Essa função é decrescente para
. Mas se calcularmos a integral:
Nesse caso, a integral diverge, ou seja, não converge.
Passo 4
Como vimos no exemplo, mesmo sendo uma função decrescente, a integral pode não convergir. Portanto, a afirmação de que toda função decrescente em
leva a uma integral convergente não é verdadeira.
Resposta
Falsa. Nem toda função decrescente em
garante que
seja convergente.