Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
(b) Se f(x) é uma função decrescente em (a, infty), então integrala^infty f(x) d x é convergente?

Passo 1

Beleza, então vamos lá! A gente tem uma afirmação que diz: “Se é uma função decrescente em , então é convergente.” Vamos usar o conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias, para analisar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser decrescente em . Uma função decrescente é aquela que, conforme aumenta, diminui. Agora, quando falamos sobre a integral , estamos analisando o comportamento da área sob a curva de a partir de até o infinito.

Passo 3

Para decidir se essa integral é convergente, ou seja, se ela tem um valor finito, a gente precisa ver alguns exemplos. Uma função ser decrescente não garante, por si só, que sua integral vai convergir. Vamos ver um exemplo:
Considere integral1^infty 1x , dx = limb to infty ln(b) - ln(1) = limb to infty ln(b) = infty . Essa função é decrescente para . Mas se calcularmos a integral:
Nesse caso, a integral diverge, ou seja, não converge.

Passo 4

Como vimos no exemplo, mesmo sendo uma função decrescente, a integral pode não convergir. Portanto, a afirmação de que toda função decrescente em leva a uma integral convergente não é verdadeira.

Resposta

Falsa. Nem toda função decrescente em garante que seja convergente.

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