Determine se as integrais abaixo são convergentes ou divergentes. Calcule o valor daquelas que são convergentes.
(e) integral2^infty x^5-5 x+2x^2-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que o exercício propôs:
integral2^infty x^5-5 x+2x^2-1 , dx
Aqui, estamos lidando com integrais impróprias, onde o limite superior é infinito. A matéria que vamos usar envolve análise de comportamento de funções no infinito e testes de convergência de integrais. Para resolver, vamos precisar simplificar a fração e analisar o comportamento da função conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função dentro da integral. Isso significa que precisamos dividir o polinômio do numerador pelo do denominador:
x^5-5 x+2x^2-1
Como o grau do numerador (5) é maior que o do denominador (2), vamos fazer a divisão polinomial.

Passo 3

Fazendo a divisão, dividimos x^5 - 5x + 2 & div x^2 - 1 & = x^3 + x + 2x + 2x^2 - 1 por x^3 + x + 2x + 2x^2-1, o que dá . Multiplicamos por e subtraímos do numerador:
Então, a fração fica:

Passo 4

Agora, a integral original pode ser reescrita como:
integral2^infty ( x^3 + x + 2x + 2x^2-1 ) , dx
Vamos integrar termo por termo.

Passo 5

Integramos cada parte:
  1. u = x^2 - 1 Rightarrow du = 2x , dx
  2. integral 2x + 2x^2-1 , dx = integral 2xx^2-1 , dx + integral 2x^2-1 , dx = ln|x^2 - 1| + constante
Para o terceiro termo, fazemos uma substituição simples:
Portanto,

Passo 6

Juntando tudo, a antiderivada é:
x^44 + x^22 + ln|x^2 - 1| + C
Agora, vamos avaliar o limite dessa expressão quando tende ao infinito e subtrair pelo valor em .

Passo 7

Ao calcular o limite quando limx to infty ( x^44 + x^22 + ln|x^2 - 1| ) = infty tende ao infinito:
Isso porque os termos e crescem sem limite conforme aumenta.

Passo 8

Como o limite da antiderivada tende ao infinito, concluímos que a integral:
integral2^infty x^5-5 x+2x^2-1 , dx
não converge, ou seja, é divergente.

Resposta

A integral é divergente.

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