Determine se as integrais abaixo são convergentes ou divergentes. Calcule o valor daquelas que são convergentes.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que o exercício propôs:
Aqui, estamos lidando com integrais impróprias, onde o limite superior é infinito. A matéria que vamos usar envolve análise de comportamento de funções no infinito e testes de convergência de integrais. Para resolver, vamos precisar simplificar a fração e analisar o comportamento da função conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da função dentro da integral. Isso significa que precisamos dividir o polinômio do numerador pelo do denominador:
Como o grau do numerador (5) é maior que o do denominador (2), vamos fazer a divisão polinomial.
Passo 3
Fazendo a divisão, dividimos
por
, o que dá
. Multiplicamos
por
e subtraímos do numerador:
Então, a fração fica:
Passo 4
Agora, a integral original pode ser reescrita como:
Vamos integrar termo por termo.
Passo 5
Integramos cada parte:
Para o terceiro termo, fazemos uma substituição simples:
Portanto,
Passo 6
Juntando tudo, a antiderivada é:
Agora, vamos avaliar o limite dessa expressão quando
tende ao infinito e subtrair pelo valor em
.
Passo 7
Ao calcular o limite quando
tende ao infinito:
Isso porque os termos
e
crescem sem limite conforme
aumenta.
Passo 8
Como o limite da antiderivada tende ao infinito, concluímos que a integral:
não converge, ou seja, é divergente.
Resposta
A integral é divergente.