Decida se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contraexemplo.
Uma matriz invertível não pode ser semelhante a uma matriz não invertível.

Passo 1

Enunciado: Decidir se a afirmação “Uma matriz invertível não pode ser semelhante a uma matriz não invertível” é verdadeira ou falsa, e justificar com argumento lógico ou contraexemplo.
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas): existe o conceito de matrizes semelhantes e de matriz invertível. Não há outros dados numéricos.

Passo 2

Definições e propriedades que vamos usar (explicadas de forma clara):
  • Duas matrizes A e B são semelhantes se existe uma matriz inversível P tal que
B = P^{-1} A P.
Aqui P é inversível por definição da semelhança; isto é, existe P^{-1} com P^{-1}P = I.
  • Uma matriz M é invertível se existe M^{-1} tal que M M^{-1} = I. Uma característica prática e muito usada é: uma matriz M é invertível se, e somente se, \det(M) \neq 0.
  • Propriedade importante do determinante (ferramenta chave): para quaisquer matrizes quadradas compatíveis, vale
\det(XY) = \det(X)\det(Y).
Além disso, como \det(I)=1 e \det(PP^{-1})=\det(P)\det(P^{-1})=\det(I)=1, segue que
\det(P^{-1}) = \frac{1}{\det(P)}.

Passo 3

Aplicação direta da propriedade do determinante à relação de semelhança. Suponha que A e B sejam semelhantes, com B = P^{-1}AP para alguma P inversível. Então, usando multiplicatividade do determinante:
\det(B) = \det(P^{-1} A P) = \det(P^{-1})\det(A)\det(P).
Agora use \det(P^{-1})\det(P)=1 (porque \det(P^{-1})=1/\det(P)). Portanto
\det(B) = \det(A).

Passo 4

Conclusão lógica a partir do passo anterior: a semelhança preserva o determinante. Assim, se A é invertível, então \det(A)\neq 0; como \det(B)=\det(A), resulta \det(B)\neq 0, ou seja, B também é invertível. Portanto é impossível que uma matriz invertível seja semelhante a uma matriz não invertível.

Passo 5

Observação alternativa (mesma ideia com outra linguagem): semelhança preserva o polinômio característico, logo preserva os autovalores com multiplicidades. Ter o autovalor 0 é equivalente a não ser invertível; assim, se A não tem autovalor 0 (é invertível), então nenhuma matriz semelhante terá autovalor 0. Mesma conclusão.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (ilustrativo): tome
A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix},\qquad P = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Calcula-se P^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}. Então
B = P^{-1}AP = \begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.
Aqui \det(A)=1\cdot2=2 e \det(B)=1\cdot2=2. Ambos invertíveis, ilustrando que semelhança não muda invertibilidade.]

Resposta

Verdadeiro.

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