Decida se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contraexemplo.
Uma matriz invertível não pode ser semelhante a uma matriz não invertível.
Uma matriz invertível não pode ser semelhante a uma matriz não invertível.
Passo 1
Enunciado: Decidir se a afirmação “Uma matriz invertível não pode ser semelhante a uma matriz não invertível” é verdadeira ou falsa, e justificar com argumento lógico ou contraexemplo.
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas): existe o conceito de matrizes semelhantes e de matriz invertível. Não há outros dados numéricos.
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas): existe o conceito de matrizes semelhantes e de matriz invertível. Não há outros dados numéricos.
Passo 2
Definições e propriedades que vamos usar (explicadas de forma clara):
- Duas matrizes
e são semelhantes se existe uma matriz inversível tal que
Aqui
é inversível por definição da semelhança; isto é, existe
com
.
- Uma matriz
é invertível se existe tal que . Uma característica prática e muito usada é: uma matriz é invertível se, e somente se, . - Propriedade importante do determinante (ferramenta chave): para quaisquer matrizes quadradas compatíveis, vale
Além disso, como
e
, segue que
Passo 3
Aplicação direta da propriedade do determinante à relação de semelhança. Suponha que
e
sejam semelhantes, com
para alguma
inversível. Então, usando multiplicatividade do determinante:
Agora use
(porque
). Portanto
Passo 4
Conclusão lógica a partir do passo anterior: a semelhança preserva o determinante. Assim, se
é invertível, então
; como
, resulta
, ou seja,
também é invertível. Portanto é impossível que uma matriz invertível seja semelhante a uma matriz não invertível.
Passo 5
Observação alternativa (mesma ideia com outra linguagem): semelhança preserva o polinômio característico, logo preserva os autovalores com multiplicidades. Ter o autovalor
é equivalente a não ser invertível; assim, se
não tem autovalor
(é invertível), então nenhuma matriz semelhante terá autovalor
. Mesma conclusão.
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (ilustrativo): tome
Calcula-se
. Então
Aqui
e
. Ambos invertíveis, ilustrando que semelhança não muda invertibilidade.]
Resposta
Verdadeiro.