Considere a matriz
Estude que condições devem satisfazer os números reais
e
para que a matriz
seja ortogonal.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
com
, e pede: quais condições devem satisfazer
e
para que
seja ortogonal?
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Os parâmetros
e são números reais. - A matriz
é e tem entradas expressas em função de e .
A partir daqui vamos verificar a condição de ortogonalidade para.
Passo 2
Definição e ideia principal (mini-aula): uma matriz real
é ortogonal quando suas colunas (ou linhas) formam um conjunto ortonormal. Formalmente,
é ortogonal se e somente se
onde
é a transposta de
e
é a matriz identidade. Isso significa duas coisas concretas sobre as colunas
e
de
:
-
(as colunas são ortogonais). -
(cada coluna tem norma 1).
Vou usar a igualdadeporque é direta para calcular com entradas e nos dá condições explícitas sobre e .
Passo 3
Calcular a transposta
. Troca-se linhas por colunas, então
Passo 4
Agora calculamos o produto
. Vou multiplicar explicitamente as matrizes
. Use a regra:
linha
de
· coluna
de
.
Compute elemento
:
Expandindo:
Compute elemento
:
Calcule cada produto:
Somando:
Compute elemento
: pela simetria (ou calculando explicitamente),
Compute elemento
:
Portanto, reunindo,
Passo 5
Interpretação do resultado: vimos que
é uma matriz escalar multiplicando a identidade, especificamente
. Para que
seja ortogonal precisamos de
. Assim a constante escalar deve ser igual a
. Logo
Isolando,
Isto é necessário e suficiente, pois já partimos da equivalência
ortogonal
.
Passo 6
Verificação alternativa (intuitiva, coluna a coluna): as colunas de
são
O produto interno
o que garante ortogonalidade das colunas sempre. As normas são
Para que ambas tenham norma
precisamos de
, chegando à mesma condição.
Passo 7
Observação sobre o determinante (comentário útil para prova): o determinante de
é
Quando
é ortogonal temos
, então
. Isso confirma que aqui as matrizes ortogonais obtidas têm determinante
(são rotações, não reflexões).
Passo 8
Exemplos numéricos (para fixar): escolhas que satisfazem
são, por exemplo,
-
, -
, -
não serve porque — na verdade esse último serve, desculpa: também satisfaz.
Teste rápido com: obtém-se uma matriz cuja , logo é ortogonal.