Considere a matriz
A=\left(\begin{array}{ll} a+b & b-a \\\ a-b & b+a \end{array}\right) .
Estude que condições devem satisfazer os números reais a e b para que a matriz A seja ortogonal.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\left(\begin{array}{ll} a+b & b-a \\\ a-b & b+a \end{array}\right)
com a,b\in\mathbb{R}, e pede: quais condições devem satisfazer a e b para que A seja ortogonal?
Informações relevantes fornecidas:
  • Os parâmetros a e b são números reais.
  • A matriz A é 2\times2 e tem entradas expressas em função de a e b.
    A partir daqui vamos verificar a condição de ortogonalidade para A.

Passo 2

Definição e ideia principal (mini-aula): uma matriz real A é ortogonal quando suas colunas (ou linhas) formam um conjunto ortonormal. Formalmente, A é ortogonal se e somente se
A^{T}A=I,
onde A^{T} é a transposta de A e I é a matriz identidade. Isso significa duas coisas concretas sobre as colunas v_1 e v_2 de A:
  1. v_1\cdot v_2 = 0 (as colunas são ortogonais).
  2. \|v_1\|=\|v_2\|=1 (cada coluna tem norma 1).
    Vou usar a igualdade A^{T}A=I porque é direta para calcular com entradas e nos dá condições explícitas sobre a e b.

Passo 3

Calcular a transposta A^{T}. Troca-se linhas por colunas, então
A^{T}=\left(\begin{array}{ll} a+b & a-b \\\ b-a & b+a \end{array}\right).

Passo 4

Agora calculamos o produto A^{T}A. Vou multiplicar explicitamente as matrizes 2\times2. Use a regra: (A^{T}A)_{ij}= linha i de A^{T} · coluna j de A.
Compute elemento (1,1):
(A^{T}A)_{11}=(a+b)(a+b)+(a-b)(a-b).
Expandindo:
(a+b)^2+(a-b)^2=(a^2+2ab+b^2)+(a^2-2ab+b^2)=2a^2+2b^2=2(a^2+b^2).
Compute elemento (1,2):
(A^{T}A)_{12}=(a+b)(b-a)+(a-b)(b+a).
Calcule cada produto:
(a+b)(b-a)= -a^2+b^2,
(a-b)(b+a)= a^2-b^2.
Somando:
- a^2+b^2 + a^2-b^2 = 0.
Compute elemento (2,1): pela simetria (ou calculando explicitamente),
(A^{T}A)_{21}=(b-a)(a+b)+(b+a)(a-b)=0.
Compute elemento (2,2):
(A^{T}A)_{22}=(b-a)(b-a)+(b+a)(b+a)=(b-a)^2+(b+a)^2=2(a^2+b^2).
Portanto, reunindo,
A^{T}A=\left(\begin{array}{cc} 2(a^2+b^2) & 0\\[4pt] 0 & 2(a^2+b^2) \end{array}\right)=2(a^2+b^2)\,I.]

Passo 5

Interpretação do resultado: vimos que A^{T}A é uma matriz escalar multiplicando a identidade, especificamente 2(a^2+b^2)I. Para que A seja ortogonal precisamos de A^{T}A=I. Assim a constante escalar deve ser igual a 1. Logo
2(a^2+b^2)=1.
Isolando,
a^2+b^2=\tfrac{1}{2}.
Isto é necessário e suficiente, pois já partimos da equivalência A ortogonal \Leftrightarrow A^{T}A=I.

Passo 6

Verificação alternativa (intuitiva, coluna a coluna): as colunas de A são
v_1=\left(\begin{array}{c}a+b\a-b\end{array}\right),\qquad v_2=\left(\begin{array}{c}b-a\b+a\end{array}\right).
O produto interno
v_1\cdot v_2=(a+b)(b-a)+(a-b)(b+a)=0,
o que garante ortogonalidade das colunas sempre. As normas são
\|v_1\|^2=(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2),
\|v_2\|^2=(b-a)^2+(b+a)^2=2(a^2+b^2).
Para que ambas tenham norma 1 precisamos de 2(a^2+b^2)=1, chegando à mesma condição.

Passo 7

Observação sobre o determinante (comentário útil para prova): o determinante de A é
\det A=(a+b)^2+(b-a)^2=2(a^2+b^2).
Quando A é ortogonal temos a^2+b^2=\tfrac{1}{2}, então \det A=1. Isso confirma que aqui as matrizes ortogonais obtidas têm determinante +1 (são rotações, não reflexões).

Passo 8

Exemplos numéricos (para fixar): escolhas que satisfazem a^2+b^2=\tfrac{1}{2} são, por exemplo,
  • a=\tfrac{1}{\sqrt{2}},\; b=0,
  • a=0,\; b=\tfrac{1}{\sqrt{2}},
  • a=\tfrac{1}{2},\; b=\tfrac{1}{2} não serve porque (1/2)^2+(1/2)^2=1/2 — na verdade esse último serve, desculpa: a=\tfrac{1}{2},\; b=\tfrac{1}{2} também satisfaz.
    Teste rápido com a=\tfrac{1}{\sqrt{2}}, b=0: obtém-se uma matriz cuja A^{T}A=I, logo é ortogonal.

Resposta

a^{2}+b^{2}=\dfrac{1}{2}

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