M=\left(\begin{array}{ccc} a & b & c \\\\ 2 & 3 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right) .
Sabendo que a matriz M admite uma base ortonormal de autovetores e que o seu determinante é 0 , determine os valores de a, b e c.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
M=\begin{pmatrix} a & b & c \\\\ 2 & 3 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
e afirma duas coisas: (i) a matriz M admite uma base ortonormal de autovetores; (ii) o determinante de M é zero. A pergunta é determinar os valores de a, b e c. Aqui estão as informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Dados:}\quad M=\begin{pmatrix} a & b & c \\\\ 2 & 3 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix},\qquad \det(M)=0,
\text{Pedido:}\quad\text{achar }a,\;b,\;c.
Passo 2
Explico o que significa, em termos práticos, “admite uma base ortonormal de autovetores” e a consequência que vamos usar. Se uma matriz real M admite uma base ortonormal de autovetores, existe uma matriz ortogonal Q (ou seja, Q^TQ=I) e uma matriz diagonal D tais que
Q^T M Q = D.
Multiplicando à esquerda por Q e à direita por Q^T obtemos
M = Q D Q^T.
Agora tomo a transposta de ambos os lados e uso que D é diagonal (logo D^T=D) e que Q^T transposta é Q:
M^T = (Q D Q^T)^T = Q D^T Q^T = Q D Q^T = M.
Portanto M^T=M; ou seja, a matriz M é simétrica. Essa é a propriedade que vamos usar para encontrar b e c.
Passo 3
Escrevo a transposta M^T explicitamente e uso M^T=M. A transposta é
M^T=\begin{pmatrix} a & 2 & 0 \\\ b & 3 & 1 \\\ c & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Igualando M e M^T elemento a elemento obtemos as relações entre entradas:
Do elemento (1,2): b = 2.
Do elemento (1,3): c = 0.
As entradas diagonais já dão a=a e 3=3, 1=1, então não trazem novidade. Assim já temos
b=2,\qquad c=0.
Passo 4
Agora uso a condição \det(M)=0. Substituo b=2 e c=0 na matriz e calculo o determinante:
onde C_{1j} são os cofatores (note o sinal para C_{12} será negativo, que eu já incluo abaixo). Calculando os menores:
O menor correspondente a a é \begin{vmatrix}3 & 1\\\\ 1 & 1\end{vmatrix}=3\cdot1-1\cdot1=3-1=2.
O menor correspondente ao elemento 2 (posição (1,2)) é \begin{vmatrix}2 & 1\\\\ 0 & 1\end{vmatrix}=2\cdot1-1\cdot0=2. O cofator C_{12} tem sinal (-1)^{1+2}=-1, então a contribuição é -2\cdot2.
Portanto