Decida se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas provando as afirmações verdadeiras e dando contra-exemplos nos casos em que são falsas.
Toda função
injetiva é sobrejetiva.
Toda função
Passo 1
O enunciado pede para determinar se toda função
que é injetiva também necessariamente é sobrejetiva. O conteúdo é teoria de funções – mais precisamente as propriedades de injetividade e sobrejetividade.
Passo 2
Vamos lembrar as definições:
– Dizemos que é injetiva se, para quaisquer
,
– Dizemos que
– Dizemos que
é sobrejetiva se, para todo
, existe ao menos um
tal que
Passo 3
Para refutar que “toda função injetiva de
em
é sobrejetiva”, basta um contra‐exemplo. Considere
com domínio e contradomínio iguais a
.
- Injetividade: se
, então tomando logaritmo real temos . Logo é injetiva. - Falta de sobrejetividade: não existe
tal que . Assim, o valor em não é atingido por .
Passo 4
Como encontramos uma função injetiva
que não atinge todos os valores em
, a afirmação original é falsa.
Resposta
Falsa. A função
é injetiva mas não é sobrejetiva em
, pois não existe
tal que
.