Decida se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas provando as afirmações verdadeiras e dando contra-exemplos nos casos em que são falsas.
Toda função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} injetiva é sobrejetiva.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se toda função f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} que é injetiva também necessariamente é sobrejetiva. O conteúdo é teoria de funções – mais precisamente as propriedades de injetividade e sobrejetividade.

Passo 2

Vamos lembrar as definições:
– Dizemos que f é injetiva se, para quaisquer x,y\in\mathbb{R},
f(x)=f(y)\quad\Longrightarrow\quad x=y.
– Dizemos que f é sobrejetiva se, para todo b\in\mathbb{R}, existe ao menos um a\in\mathbb{R} tal que
f(a)=b.

Passo 3

Para refutar que “toda função injetiva de \mathbb{R} em \mathbb{R} é sobrejetiva”, basta um contra‐exemplo. Considere
f(x)=e^x,
com domínio e contradomínio iguais a \mathbb{R}.
  1. Injetividade: se e^x=e^y, então tomando logaritmo real temos x=y. Logo f é injetiva.
  2. Falta de sobrejetividade: não existe x\in\mathbb{R} tal que e^x=-1. Assim, o valor -1 em \mathbb{R} não é atingido por f.

Passo 4

Como encontramos uma função injetiva f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} que não atinge todos os valores em \mathbb{R}, a afirmação original é falsa.

Resposta

Falsa. A função f(x)=e^x é injetiva mas não é sobrejetiva em \mathbb{R}, pois não existe x tal que e^x<0.

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