Decida se cada afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique a sua resposta através de uma argumento ou um contra-exemplo.
Se
é não invertível, então
é não invertível.
Se
Passo 1
O enunciado dá a afirmação: “Se
é não invertível, então
é não invertível.”
Informações/questões que temos de clarear (pegue isto como o que o problema pede):
Informações/questões que temos de clarear (pegue isto como o que o problema pede):
- Temos uma matriz
. (Não foi dito explicitamente no enunciado, então vou trabalhar no caso padrão: é quadrada de ordem sobre (ou ), porque a noção de invertibilidade aqui é a de inversa quadrada.) - Precisamos decidir se a afirmação é sempre verdadeira ou se às vezes é falsa, e justificar com argumento ou contra-exemplo.
Passo 2
Definições e fatos que vou usar (explicados passo a passo, sem pular etapas):
- Uma matriz quadrada
é invertível (ou não singular) se existe uma matriz tal que . Caso contrário, é não invertível (singular). - Uma maneira prática e comum de testar invertibilidade é pelo determinante: uma matriz quadrada
é invertível se, e somente se, . Se , então é não invertível. - Propriedades úteis de determinantes:
para quaisquer matrizes quadradas compatíveis , e Essas propriedades são clássicas e serão usadas a seguir.
Passo 3
Aplico as propriedades ao produto
. Se
é não invertível, então, pela equivalência com determinante,
Pelo teorema do determinante do produto e pelo fato
, temos
Então
. Como um quadrado real (ou complexo) é zero somente quando o número é zero, segue que
Pelo critério de determinante,
implica que
é não invertível. Logo a afirmação é verdadeira nesse contexto.
Passo 4
Outra forma de ver (contrapositivo) que talvez ajude a fixar a ideia: suponha que
fosse invertível. Então
e
existem, e verifica-se diretamente que
portanto
seria invertível. Tomando o contraposito: se
não é invertível, então
não pode ser invertível. É a mesma conclusão do passo anterior, apresentada de outro ângulo.
Passo 5
Um exemplo concreto (para sentir a coisa na prática): considere
Aqui
, logo
é não invertível. Calcula-se
que também é não invertível. Este exemplo ilustra a compatibilidade do resultado com casos concretos (mas não é necessário para a prova geral).]
Resposta
Sempre verdadeira.