Decida se cada afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique a sua resposta através de uma argumento ou um contra-exemplo.
Se A A^{T} é não invertível, então A é não invertível.

Passo 1

O enunciado dá a afirmação: “Se A A^{T} é não invertível, então A é não invertível.”
Informações/questões que temos de clarear (pegue isto como o que o problema pede):
  • Temos uma matriz A. (Não foi dito explicitamente no enunciado, então vou trabalhar no caso padrão: A é quadrada de ordem n sobre \mathbb{R} (ou \mathbb{C}), porque a noção de invertibilidade aqui é a de inversa quadrada.)
  • Precisamos decidir se a afirmação é sempre verdadeira ou se às vezes é falsa, e justificar com argumento ou contra-exemplo.

Passo 2

Definições e fatos que vou usar (explicados passo a passo, sem pular etapas):
  • Uma matriz quadrada M é invertível (ou não singular) se existe uma matriz M^{-1} tal que M M^{-1}=M^{-1}M=I. Caso contrário, M é não invertível (singular).
  • Uma maneira prática e comum de testar invertibilidade é pelo determinante: uma matriz quadrada M é invertível se, e somente se, \det(M)\neq 0. Se \det(M)=0, então M é não invertível.
  • Propriedades úteis de determinantes: \det(AB)=\det(A)\det(B)para quaisquer matrizes quadradas compatíveis A,B, e \det(A^{T})=\det(A).Essas propriedades são clássicas e serão usadas a seguir.

Passo 3

Aplico as propriedades ao produto \,A A^{T}\,. Se \,A A^{T}\, é não invertível, então, pela equivalência com determinante,
\det\!\left(A A^{T}\right)=0.
Pelo teorema do determinante do produto e pelo fato \det(A^{T})=\det(A), temos
\det\!\left(A A^{T}\right)=\det(A)\det(A^{T})=\det(A)\det(A)=\bigl(\det(A)\bigr)^{2}.
Então \bigl(\det(A)\bigr)^{2}=0. Como um quadrado real (ou complexo) é zero somente quando o número é zero, segue que
\det(A)=0.
Pelo critério de determinante, \det(A)=0 implica que A é não invertível. Logo a afirmação é verdadeira nesse contexto.

Passo 4

Outra forma de ver (contrapositivo) que talvez ajude a fixar a ideia: suponha que A fosse invertível. Então A^{-1} e (A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T} existem, e verifica-se diretamente que
\bigl(A A^{T}\bigr)\bigl((A^{T})^{-1}A^{-1}\bigr)=A\bigl(A^{T}(A^{T})^{-1}\bigr)A^{-1}=A I A^{-1}=I,
portanto A A^{T} seria invertível. Tomando o contraposito: se A A^{T} não é invertível, então A não pode ser invertível. É a mesma conclusão do passo anterior, apresentada de outro ângulo.

Passo 5

Um exemplo concreto (para sentir a coisa na prática): considere
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Aqui \det(A)=0, logo A é não invertível. Calcula-se
A A^{T}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
que também é não invertível. Este exemplo ilustra a compatibilidade do resultado com casos concretos (mas não é necessário para a prova geral).]

Resposta

Sempre verdadeira.

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