Decida se cada afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique a sua resposta através de uma argumento ou um contra-exemplo.
Se
é uma matriz quadrada, então o sistema
possui solução única se, e somente se,
.
Se
Passo 1
O enunciado dá a seguinte afirmação: "Se
é uma matriz quadrada, então o sistema
possui solução única se, e somente se,
".
Informações dadas:
Informações dadas:
-
é uma matriz quadrada de ordem (isto é, , onde é um corpo como ou ). - O sistema considerado é o homogêneo
(o vetor zero do mesmo comprimento que ).
O que é pedido: - Decidir se a afirmação é sempre verdadeira ou às vezes falsa.
- Justificar a resposta com um argumento ou contra-exemplo.
Passo 2
Definições e fatos básicos que usarei (explicadinhos passo a passo):
- Uma matriz
é invertível se existe uma matriz tal que , onde é a matriz identidade de ordem . - Um fato fundamental da álgebra linear:
se, e somente se, é invertível. Ou seja, existe .
Por que isso é razoável? O determinante mede (entre outras coisas) se a transformação linear associada a“esmaga” o espaço em dimensão menor. Se o determinante for zero, a transformação não é bijetora; se for não nulo, é bijetora e tem inversa linear. - Para o sistema homogêneo
: “possuir solução única” significa que a única solução é o vetor nulo . Em termos de espaço nulo (kernel), isso diz que .
Passo 3
Prova da implicação (
solução única):
- Suponha
. Então, pelo fato explicado, é invertível; existe . - Tome uma solução qualquer
de . Multiplicando ambos os lados por obtemos Como e , segue - Conclusão: o único vetor solução é
. Logo, se então o sistema homogêneo tem solução única.
Passo 4
Prova da implicação inversa (solução única
):
- Suponha que o sistema homogêneo
tenha solução única, isto é, . - Isso significa que as colunas de
são linearmente independentes: se uma combinação linear das colunas iguala o vetor zero, os coeficientes dessa combinação formam um vetor que resolve ; por hipótese, esse só pode ser o vetor nulo. Logo só a combinação trivial existe, o que é exatamente a definição de independência linear das colunas. - Se as
colunas de em são linearmente independentes, então o posto (rank) de é . - Um resultado padrão: uma matriz quadrada tem posto
se, e somente se, seu determinante é diferente de zero. Portanto . - Conclusão: se o sistema homogêneo tem apenas a solução trivial, então
.
Passo 5
Resumo dos dois sentidos (fechando o “se e somente se”):
- Mostrei que
implica que é invertível e assim tem apenas a solução . - Mostrei que, se
tem apenas a solução trivial, então as colunas de são linearmente independentes, o que implica e portanto . - Assim a afirmação é verdadeira em ambas as direções; não há exceções quando
é quadrada e se trabalha sobre um corpo (por exemplo ou ).
Passo 6
Um exemplo concreto para intuir o caso contrário (ilustrando o porquê
Aqui
. O sistema
é
que é a mesma equação repetida; todas as soluções têm a forma
. Há infinitas soluções não-triviais. Isso ilustra que
impede a unicidade da solução.]
Passo 7
Observação final e motivacional: este é um dos resultados centrais e muito úteis em Álgebra Linear — conectar determinante, inversibilidade, posto e espaço nulo. Guardar essa cadeia de equivalências vai te economizar muito tempo na prova: quando vir
já sabe imediatamente que existe inversa, que as colunas são independentes e que o sistema homogêneo só tem a solução trivial.
Resposta
Sempre verdadeira.