Decida se cada afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique a sua resposta através de uma argumento ou um contra-exemplo.
Se A é uma matriz quadrada, então o sistema A X=\overline{0} possui solução única se, e somente se, \operatorname{det}(A) \neq 0.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte afirmação: "Se A é uma matriz quadrada, então o sistema A X=\overline{0} possui solução única se, e somente se, \det(A)\neq0".
Informações dadas:
  • A é uma matriz quadrada de ordem n (isto é, A\in\mathbb{K}^{n\times n}, onde \mathbb{K} é um corpo como \mathbb{R} ou \mathbb{C}).
  • O sistema considerado é o homogêneo \,A X=\overline{0}\, (o vetor zero do mesmo comprimento que X).
    O que é pedido:
  • Decidir se a afirmação é sempre verdadeira ou às vezes falsa.
  • Justificar a resposta com um argumento ou contra-exemplo.

Passo 2

Definições e fatos básicos que usarei (explicadinhos passo a passo):
  • Uma matriz A é invertível se existe uma matriz A^{-1} tal que \,A^{-1}A=AA^{-1}=I_n, onde I_n é a matriz identidade de ordem n.
  • Um fato fundamental da álgebra linear: \det(A)\neq0 se, e somente se, A é invertível. Ou seja, \det(A)\neq0 \iff existe A^{-1}.
    Por que isso é razoável? O determinante mede (entre outras coisas) se a transformação linear associada a A “esmaga” o espaço em dimensão menor. Se o determinante for zero, a transformação não é bijetora; se for não nulo, é bijetora e tem inversa linear.
  • Para o sistema homogêneo \,A X=\overline{0}\,: “possuir solução única” significa que a única solução é o vetor nulo X=\overline{0}. Em termos de espaço nulo (kernel), isso diz que \ker(A)=\{\overline{0}\}.

Passo 3

Prova da implicação ( \det(A)\neq0 \Rightarrow solução única):
  • Suponha \det(A)\neq0. Então, pelo fato explicado, A é invertível; existe A^{-1}.
  • Tome uma solução qualquer X de A X=\overline{0}. Multiplicando ambos os lados por A^{-1} obtemos A^{-1}A X = A^{-1}\overline{0}.Como A^{-1}A=I_n e A^{-1}\overline{0}=\overline{0}, segue I_n X = \overline{0}\quad\Rightarrow\quad X=\overline{0}.
  • Conclusão: o único vetor solução é X=\overline{0}. Logo, se \det(A)\neq0 então o sistema homogêneo tem solução única.

Passo 4

Prova da implicação inversa (solução única \Rightarrow \det(A)\neq0):
  • Suponha que o sistema homogêneo A X=\overline{0} tenha solução única, isto é, \ker(A)=\{\overline{0}\}.
  • Isso significa que as colunas de A são linearmente independentes: se uma combinação linear das colunas iguala o vetor zero, os coeficientes dessa combinação formam um vetor X que resolve A X=\overline{0}; por hipótese, esse X só pode ser o vetor nulo. Logo só a combinação trivial existe, o que é exatamente a definição de independência linear das colunas.
  • Se as n colunas de A em \mathbb{K}^n são linearmente independentes, então o posto (rank) de A é n.
  • Um resultado padrão: uma matriz quadrada tem posto n se, e somente se, seu determinante é diferente de zero. Portanto \operatorname{rank}(A)=n \Rightarrow \det(A)\neq0.
  • Conclusão: se o sistema homogêneo tem apenas a solução trivial, então \det(A)\neq0.

Passo 5

Resumo dos dois sentidos (fechando o “se e somente se”):
  • Mostrei que \det(A)\neq0 implica que A é invertível e assim A X=\overline{0} tem apenas a solução X=\overline{0}.
  • Mostrei que, se A X=\overline{0} tem apenas a solução trivial, então as colunas de A são linearmente independentes, o que implica \operatorname{rank}(A)=n e portanto \det(A)\neq0.
  • Assim a afirmação é verdadeira em ambas as direções; não há exceções quando A é quadrada e se trabalha sobre um corpo (por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}).

Passo 6

Um exemplo concreto para intuir o caso contrário (ilustrando o porquê \det(A)=0\) dá soluções não únicas): - Considere \[A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}.
Aqui \det(A)=1\cdot4-2\cdot2=0. O sistema A X=\overline{0} é
\begin{cases} x_1+2x_2=0,\\[4pt] 2x_1+4x_2=0, \end{cases}
que é a mesma equação repetida; todas as soluções têm a forma (x_1,x_2)=(-2t,t)\] com parâmetro \(t. Há infinitas soluções não-triviais. Isso ilustra que \det(A)=0 impede a unicidade da solução.]

Passo 7

Observação final e motivacional: este é um dos resultados centrais e muito úteis em Álgebra Linear — conectar determinante, inversibilidade, posto e espaço nulo. Guardar essa cadeia de equivalências vai te economizar muito tempo na prova: quando vir \det(A)\neq0 já sabe imediatamente que existe inversa, que as colunas são independentes e que o sistema homogêneo só tem a solução trivial.

Resposta

Sempre verdadeira.

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