Para uma matriz quadrada A, sabe-se que \operatorname{det}(A)=2 e que sua a inversa é:
A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2 \\\\ 0 & -1 & \alpha \\\\ -10 & 2 & -1 \end{array}\right]
Calcule o valor da constante \alpha.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações relevantes:
  • É uma matriz quadrada A com \det(A)=2.
  • A inversa de A é
A^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\\\ 0 & -1 & \alpha \\\\ -10 & 2 & -1 \end{bmatrix}.
O que o problema pede: calcular o valor da constante \alpha.

Passo 2

Vamos usar uma relação fundamental entre determinantes e inversas. A propriedade é:
\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}.
Explicando por que isso vale: como A A^{-1}=I (matriz identidade), tomando determinantes obtemos
\det(A)\det(A^{-1})=\det(I)=1,
logo \det(A^{-1})=1/\det(A). No nosso caso, como \det(A)=2, temos
\det(A^{-1})=\frac{1}{2}.

Passo 3

Agora vamos calcular \det(A^{-1}) em termos de \alpha. Para uma matriz 3\times3
M=\begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13}\\[4pt] m_{21} & m_{22} & m_{23}\\[4pt] m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{bmatrix}
uma forma prática de obter o determinante é a regra de Sarrus:
\det(M)=m_{11}m_{22}m_{33}+m_{12}m_{23}m_{31}+m_{13}m_{21}m_{32}-(m_{13}m_{22}m_{31}+m_{11}m_{23}m_{32}+m_{12}m_{21}m_{33}).
No nosso caso, identificando entradas de A^{-1}:
m_{11}=1,\quad m_{12}=2,\quad m_{13}=2,
m_{21}=0,\quad m_{22}=-1,\quad m_{23}=\alpha,
m_{31}=-10,\quad m_{32}=2,\quad m_{33}=-1.]

Passo 4

Calculemos termo a termo a aplicação da regra de Sarrus.
Primeiro somatório (os três produtos positivos):
m_{11}m_{22}m_{33}=1\cdot(-1)\cdot(-1)=1,
m_{12}m_{23}m_{31}=2\cdot\alpha\cdot(-10)=-20\alpha,
m_{13}m_{21}m_{32}=2\cdot0\cdot2=0.
Somando esses três termos:
\text{Soma}_+ = 1 - 20\alpha + 0 = 1-20\alpha.

Passo 5

Agora o segundo somatório (os três produtos subtraídos):
m_{13}m_{22}m_{31}=2\cdot(-1)\cdot(-10)=20,
m_{11}m_{23}m_{32}=1\cdot\alpha\cdot2=2\alpha,
m_{12}m_{21}m_{33}=2\cdot0\cdot(-1)=0.
Somando esses três termos:
\text{Soma}_- = 20 + 2\alpha + 0 = 20+2\alpha.

Passo 6

Subtraindo os dois somatórios obtemos o determinante de A^{-1}:
\det(A^{-1})=(1-20\alpha)-(20+2\alpha)=1-20\alpha-20-2\alpha=-19-22\alpha.

Passo 7

Pelo passo 2 sabemos que \det(A^{-1})=\dfrac{1}{2}. Igualando:
-19-22\alpha=\frac{1}{2}.
Isolando \alpha:
-22\alpha=\frac{1}{2}+19=\frac{1}{2}+\frac{38}{2}=\frac{39}{2},
\alpha=-\frac{39}{2}\cdot\frac{1}{22}=-\frac{39}{44}.

Resposta

-\dfrac{39}{44}

Exercícios relacionados