Para uma matriz quadrada
, sabe-se que
e que sua a inversa é:
Calcule o valor da constante
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações relevantes:
- É uma matriz quadrada
com . - A inversa de
é
O que o problema pede: calcular o valor da constante
.
Passo 2
Vamos usar uma relação fundamental entre determinantes e inversas. A propriedade é:
Explicando por que isso vale: como
(matriz identidade), tomando determinantes obtemos
logo
. No nosso caso, como
, temos
Passo 3
Agora vamos calcular
em termos de
. Para uma matriz
uma forma prática de obter o determinante é a regra de Sarrus:
No nosso caso, identificando entradas de
:
Passo 4
Calculemos termo a termo a aplicação da regra de Sarrus.
Primeiro somatório (os três produtos positivos):
Somando esses três termos:
Passo 5
Agora o segundo somatório (os três produtos subtraídos):
Somando esses três termos:
Passo 6
Subtraindo os dois somatórios obtemos o determinante de
:
Passo 7
Pelo passo 2 sabemos que
. Igualando:
Isolando
: