Decida se cada conjunto G dotado da operação " *" indicada forma um grupo. Se não, indique uma entre as propriedades \left(\mathcal{G}_{1}\right),\left(\mathcal{G}_{2}\right) e \left(\mathcal{G}_{3}\right) que não é satisfeita. Verifique também quais dos grupos são abelianos. G=\mathbb{C}, \quad z_{1} \star z_{2}=\left\|z_{1} \cdot z_{2}\right\| (o módulo de um número complexo).
Passo 1
O enunciado dá o conjunto G=\mathbb{C} e a operação \star definida por
(ou seja, o módulo do produto complexo). As perguntas são:
Decidir se (G,\star) forma um grupo. Se não, indicar qual das propriedades \left(\mathcal{G}_{1}\right),\left(\mathcal{G}_{2}\right),\left(\mathcal{G}_{3}\right) não é satisfeita (aqui vamos entender \mathcal{G}_{1} como associatividade, \mathcal{G}_{2} como existência de elemento neutro e \mathcal{G}_{3} como existência de inversos para todos os elementos).
Verificar, quando for apropriado, se o grupo é abeliano.
As informações relevantes: a operação transforma dois complexos em um número real não negativo (o módulo), e vale a identidade conhecida da norma: \lvert zw\rvert=\lvert z\rvert\lvert w\rvert.
Passo 2
Recordando as definições (para eu te lembrar com calma):
\mathcal{G}_1 (associatividade): para todos a,b,c\in G devemos ter (a\star b)\star c = a\star(b\star c).
\mathcal{G}_2 (elemento neutro): existe e\in G tal que para todo a\in G, a\star e = e\star a = a.
\mathcal{G}_3 (inversos): para todo a\in G existe a^{-1}\in G tal que a\star a^{-1} = a^{-1}\star a = e (onde e é o neutro).
Vou checar cada propriedade com muitos detalhes e exemplos simples, passo a passo.
Passo 3
Temos que, para quaisquer z_{1},z_{2}\in\mathbb{C},
z_{1}\star z_{2}=\lvert z_{1}z_{2}\rvert.
O valor \lvert z_{1}z_{2}\rvert é um número real não negativo, isto é \lvert z_{1}z_{2}\rvert\in\mathbb{R}_{\ge 0}. Como \mathbb{R}_{\ge 0}\subset\mathbb{C}, o resultado está em G=\mathbb{C}. Portanto a propriedade de fechamento (o resultado da operação está em G) é satisfeita.
Passo 4
Para verificar associatividade, calculamos ambos os lados para z_{1},z_{2},z_{3}\in\mathbb{C}.
Como \lvert z_{1}z_{2}\rvert é um real não negativo, podemos usar a propriedade da norma \lvert rw\rvert = \lvert r\rvert\lvert w\rvert (para r\in\mathbb{R}, w\in\mathbb{C}) e obter
Como os dois lados coincidem para quaisquer z_{1},z_{2},z_{3}, a operação é associativa. Logo \mathcal{G}_1 é satisfeita.
Observação didática rápida: usamos aqui a propriedade fundamental dos módulos complexos \lvert zw\rvert=\lvert z\rvert\lvert w\rvert, que é a base de toda essa verificação.
Passo 5
Procuramos e\in\mathbb{C} tal que, para todo z\in\mathbb{C},
z\star e = z \quad\text{e}\quad e\star z = z.
Calculemos z\star e:
z\star e = \lvert z e\rvert = \lvert z\rvert\cdot\lvert e\rvert.
Note que \lvert z\rvert\cdot\lvert e\rvert é um número real não negativo. Para que isso seja igual a z (um número complexo qualquer), precisaríamos que todo z fosse um real não negativo e igual ao seu módulo, o que é falso (por exemplo, z=i não é real). Em termos lógicos: exigir \lvert z\rvert\lvert e\rvert=z para todo z é impossível, porque o membro esquerdo é sempre real e não negativo, enquanto o membro direito pode ter parte imaginária.
Podemos dar um contraexemplo simples: suponha que exista e. Tomemos z=i. Então
i = i\star e = \lvert i e\rvert = \lvert e\rvert,
isto é, i seria um número real (igual a \lvert e\rvert), absurdo. Logo não existe tal e em \mathbb{C}. Portanto a propriedade \mathcal{G}_2 (existência de elemento neutro) não é satisfeita.
Comentário prático: uma tentativa óbvia seria testar e=1. Vê-se que z\star 1=\lvert z\rvert, que não é igual a z em geral; confirma que não há neutro universal.
Passo 6
A existência de inversos para todos os elementos exige primeiro que exista o elemento neutro e. Como vimos em
Passo 7
Verificamos a comutatividade da operação: para quaisquer z_{1},z_{2}\in\mathbb{C},
Portanto a operação \star é comutativa. Contudo, apesar de a operação ser comutativa, como (G,\star) não é um grupo (falta neutro), não podemos chamá-lo de grupo abeliano. Em linguagem direta: a lei é comutativa, mas não existe estrutura de grupo.
Resposta
(G,\star) não é grupo — não satisfaz \mathcal{G}_{2} (não existe elemento neutro).
A operação é comutativa, mas como não é grupo, não há grupo abeliano aqui.