Decida se cada conjunto
dotado da operação " *" indicada forma um grupo. Se não, indique uma entre as propriedades
e
que não é satisfeita. Verifique também quais dos grupos são abelianos.
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
(os reais diferentes de zero) com a operação
As perguntas que precisamos responder são:
- O par
forma um grupo? Se não, indicar uma entre as propriedades que não é satisfeita. - Se for grupo, verificar se é abeliano (comutativo).
Informações relevantes fornecidas:
e a lei de composição
. Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Antes de começar a testar, vamos lembrar (com calma) o que são as propriedades que um conjunto com uma operação deve satisfazer para ser um grupo. Vou usar as seguintes etiquetas para as propriedades, assim fica claro qual estou testando:
Além disso, para ser abeliano precisa, além de ser grupo, satisfazer comutatividade:
Vou verificar cada propriedade uma a uma, explicando passo a passo como fazer no caderno da prova.
Passo 3
Verificação de
— Fechamento.
Tomemos
. Por definição
, então a operação
é bem definida e o quociente de dois reais não nulos é um real não nulo (pois dividir por
não produz zero a menos que
, mas
implica
). Logo
. Portanto a propriedade de fechamento
é satisfeita.
Comentário prático: na prova, escreva exatamente isso — como
e
são não nulos,
existe e é não nulo, então fechado.
Passo 4
Verificação de
— Associatividade.
Precisamos comparar
e
. Calculemos simbolicamente:
Comparando
com
: em geral eles não são iguais. Para ver isso de forma bem concreta, escolha um contraexemplo numérico (isso é muito útil numa prova — uma única contraprova basta para refutar associatividade). Por exemplo, tome
,
,
. Então
Como
, a associatividade falha. Portanto
não é satisfeita.
Dica de prova: sempre que a operação envolver divisão, atenção — divisão normalmente não é associativa; mostrar duas expressões simbólicas diferentes e dar um contraexemplo numérico resolve rápido.
Passo 5
Verificação de
— Elemento neutro e inversos.
Mesmo tendo mostrado que a associatividade falha (o que já impede ser grupo), é interessante verificar se existe elemento neutro, porque isso mostra outro ponto de falha.
Procure
tal que para todo
valha
e
.
Da condição
temos
Então, para que a primeira igualdade valha para todo
, precisamos de
.
Agora verifiquemos a segunda igualdade com
:
Mas queremos que isso seja igual a
para todo
. A equação
implicaria
, ou seja isso só vale para
, não para todo
. Portanto não existe um elemento
que seja neutro à esquerda e à direita simultaneamente para todos
. Em outras palavras, não existe elemento neutro bilateral. Consequentemente, a parte da propriedade
que exige elemento neutro (e, por extensão, inversos dois-lados) também falha.
Observação prática: em cálculo rápido, basta notar que se
para todo
então
, mas
em geral, logo não há neutro bilateral.
Passo 6
Conclusão sobre ser grupo.
Um conjunto com operação é grupo somente se
forem todas satisfeitas. Mostramos que
é satisfeita, mas
(associatividade) não é satisfeita (contraexemplo numérico) e também
(neutro/inversos bilaterais) falha. Logo
não é um grupo.
Passo 7
Verificação de comutatividade (ser abeliano).
Para ser abeliano, além de ser grupo, a operação deve satisfazer
para todos
. Aqui
Em geral
(por exemplo
dá
). Portanto a operação não é comutativa em geral. Como, além disso, já não temos grupo, não faz sentido chamá-lo de grupo abeliano; mas fica evidente que a operação não é comutativa.
Resposta
Não é grupo;
(associatividade) não é satisfeita.
Abeliano? Não.
Abeliano? Não.