Decida se cada conjunto G dotado da operação " *" indicada forma um grupo. Se não, indique uma entre as propriedades \left(\mathcal{G}_{1}\right),\left(\mathcal{G}_{2}\right) e \left(\mathcal{G}_{3}\right) que não é satisfeita. Verifique também quais dos grupos são abelianos.
G=\mathbb{R}^{*}, \quad a \star b=a / b.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto G=\mathbb{R}^{*} (os reais diferentes de zero) com a operação
a\star b = \frac{a}{b}.
As perguntas que precisamos responder são:
  1. O par (G,\star) forma um grupo? Se não, indicar uma entre as propriedades \left(\mathcal{G}_{1}\right),\left(\mathcal{G}_{2}\right),\left(\mathcal{G}_{3}\right) que não é satisfeita.
  2. Se for grupo, verificar se é abeliano (comutativo).
Informações relevantes fornecidas: G=\mathbb{R}^{*} e a lei de composição a\star b=a/b. Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Antes de começar a testar, vamos lembrar (com calma) o que são as propriedades que um conjunto com uma operação deve satisfazer para ser um grupo. Vou usar as seguintes etiquetas para as propriedades, assim fica claro qual estou testando:
\left(\mathcal{G}_{1}\right) Fechamento: para todos a,b\in G, tem-se a\star b\in G.
\left(\mathcal{G}_{2}\right) Associatividade: para todos a,b,c\in G,
(a\star b)\star c = a\star (b\star c).
\left(\mathcal{G}_{3}\right) Elemento neutro e inversos: existe um elemento e\in G tal que e\star a=a\star e=a para todo a\in G, e para cada a\in G existe a^{-1}\in G com a\star a^{-1}=a^{-1}\star a=e.
Além disso, para ser abeliano precisa, além de ser grupo, satisfazer comutatividade:
a\star b = b\star a\quad\text{para todos }a,b\in G.
Vou verificar cada propriedade uma a uma, explicando passo a passo como fazer no caderno da prova.

Passo 3

Verificação de \left(\mathcal{G}_{1}\right) — Fechamento.
Tomemos a,b\in\mathbb{R}^{*}. Por definição b\neq 0, então a operação
a\star b=\frac{a}{b}
é bem definida e o quociente de dois reais não nulos é um real não nulo (pois dividir por b\neq0 não produz zero a menos que a=0, mas a\in\mathbb{R}^* implica a\neq0). Logo \dfrac{a}{b}\in\mathbb{R}^{*}. Portanto a propriedade de fechamento \left(\mathcal{G}_{1}\right) é satisfeita.
Comentário prático: na prova, escreva exatamente isso — como a e b são não nulos, a/b existe e é não nulo, então fechado.

Passo 4

Verificação de \left(\mathcal{G}_{2}\right) — Associatividade.
Precisamos comparar (a\star b)\star c e a\star(b\star c). Calculemos simbolicamente:
(a\star b)\star c = \left(\frac{a}{b}\right)\star c = \frac{\frac{a}{b}}{c} = \frac{a}{b\,c}.
a\star(b\star c) = a\star\left(\frac{b}{c}\right) = \frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a c}{b}.
Comparando \dfrac{a}{b c} com \dfrac{a c}{b}: em geral eles não são iguais. Para ver isso de forma bem concreta, escolha um contraexemplo numérico (isso é muito útil numa prova — uma única contraprova basta para refutar associatividade). Por exemplo, tome a=2, b=3, c=4. Então
(a\star b)\star c = \frac{2}{3\cdot 4} = \frac{2}{12}=\frac{1}{6},
a\star(b\star c) = \frac{2\cdot 4}{3}=\frac{8}{3}.
Como \dfrac{1}{6}\neq \dfrac{8}{3}, a associatividade falha. Portanto \left(\mathcal{G}_{2}\right) não é satisfeita.
Dica de prova: sempre que a operação envolver divisão, atenção — divisão normalmente não é associativa; mostrar duas expressões simbólicas diferentes e dar um contraexemplo numérico resolve rápido.

Passo 5

Verificação de \left(\mathcal{G}_{3}\right) — Elemento neutro e inversos.
Mesmo tendo mostrado que a associatividade falha (o que já impede ser grupo), é interessante verificar se existe elemento neutro, porque isso mostra outro ponto de falha.
Procure e\in\mathbb{R}^{*} tal que para todo a\in\mathbb{R}^{*} valha a\star e = a e e\star a = a.
Da condição a\star e = a temos
\frac{a}{e} = a \quad\Rightarrow\quad e = 1.
Então, para que a primeira igualdade valha para todo a, precisamos de e=1.
Agora verifiquemos a segunda igualdade com e=1:
e\star a = \frac{e}{a} = \frac{1}{a}.
Mas queremos que isso seja igual a a para todo a. A equação \dfrac{1}{a}=a implicaria a^2=1, ou seja isso só vale para a=\pm1, não para todo a\in\mathbb{R}^*. Portanto não existe um elemento e que seja neutro à esquerda e à direita simultaneamente para todos a. Em outras palavras, não existe elemento neutro bilateral. Consequentemente, a parte da propriedade \left(\mathcal{G}_{3}\right) que exige elemento neutro (e, por extensão, inversos dois-lados) também falha.
Observação prática: em cálculo rápido, basta notar que se a/e=a para todo a então e=1, mas 1/a\neq a em geral, logo não há neutro bilateral.

Passo 6

Conclusão sobre ser grupo.
Um conjunto com operação é grupo somente se \left(\mathcal{G}_{1}\right),\left(\mathcal{G}_{2}\right),\left(\mathcal{G}_{3}\right) forem todas satisfeitas. Mostramos que \left(\mathcal{G}_{1}\right) é satisfeita, mas \left(\mathcal{G}_{2}\right) (associatividade) não é satisfeita (contraexemplo numérico) e também \left(\mathcal{G}_{3}\right) (neutro/inversos bilaterais) falha. Logo (\mathbb{R}^{*},\star) não é um grupo.

Passo 7

Verificação de comutatividade (ser abeliano).
Para ser abeliano, além de ser grupo, a operação deve satisfazer a\star b = b\star a para todos a,b. Aqui
a\star b = \frac{a}{b},\qquad b\star a = \frac{b}{a}.
Em geral \dfrac{a}{b}\neq \dfrac{b}{a} (por exemplo a=2,b=3 2/3\neq 3/2). Portanto a operação não é comutativa em geral. Como, além disso, já não temos grupo, não faz sentido chamá-lo de grupo abeliano; mas fica evidente que a operação não é comutativa.

Resposta

Não é grupo; \mathcal{G}_{2} (associatividade) não é satisfeita.
Abeliano? Não.

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