Decida se cada conjunto G dotado da operação " *" indicada forma um grupo. Se não, indique uma entre as propriedades \left(\mathcal{G}_{1}\right),\left(\mathcal{G}_{2}\right) e \left(\mathcal{G}_{3}\right) que não é satisfeita. Verifique também quais dos grupos são abelianos.
G=\left\{x+y \sqrt{2} \in \mathbb{R}^{*}: x, y \in \mathbb{Q}\right\}, \quad a \star b=a \cdot b.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
G=\{x+y\sqrt{2}\in\mathbb{R}^{*}\;:\;x,y\in\mathbb{Q}\},
onde \mathbb{R}^{*} significa os reais não nulos, e a operação \star é a multiplicação usual:
a\star b = a\cdot b\quad\text{(produto usual em \(\mathbb{R}\)).}
Pede-se decidir se (G,\star) é grupo; se não for, indicar qual das propriedades do grupo não se satisfaz; e verificar se, quando for grupo, ele é abeliano.

Passo 2

Vou lembrar rapidamente e de forma direta o que precisamos checar para dizer que (G,\star) é um grupo: precisamos mostrar que
  1. o conjunto é fechado pela operação (produto de dois elementos de G permanece em G);
  2. a operação é associativa em G;
  3. existe elemento identidade em G;
  4. todo elemento de G tem inverso em G.
    (Se todas essas quatro condições forem verdadeiras, então (G,\star) é um grupo.) Também depois verificamos se a operação é comutativa (abeliana).

Passo 3

Pegue dois elementos genéricos de G:
a = x_1 + y_1\sqrt{2},\qquad b = x_2 + y_2\sqrt{2},
com x_1,y_1,x_2,y_2\in\mathbb{Q}. Multiplicando-os (produto de reais) obtemos
a\cdot b = (x_1 + y_1\sqrt{2})(x_2 + y_2\sqrt{2}).
Agora expandimos o produto (distribuindo termos):
a\cdot b = x_1x_2 + x_1y_2\sqrt{2} + y_1x_2\sqrt{2} + y_1y_2(\sqrt{2})^2.
Como (\sqrt{2})^2=2, agrupando as partes racionais e as partes com \sqrt{2} fica
a\cdot b = \bigl(x_1x_2 + 2y_1y_2\bigr) + \bigl(x_1y_2 + x_2y_1\bigr)\sqrt{2}.
Os coeficientes \;x_1x_2 + 2y_1y_2\; e \;x_1y_2 + x_2y_1\; são somas e produtos de números racionais, logo são racionais. Portanto a\cdot b é da forma x+y\sqrt{2} com x,y\in\mathbb{Q}. Além disso, se a e b são não nulos, o produto é não nulo; logo a\cdot b\in\mathbb{R}^{*}. Conclusão: fechamento válido.

Passo 4

A operação \star é a multiplicação usual de números reais. Sabemos (propriedade da multiplicação em \mathbb{R}) que a multiplicação é associativa, isto é, para quaisquer u,v,w\in\mathbb{R} vale (u\cdot v)\cdot w = u\cdot (v\cdot w). Como G\subset\mathbb{R}^{*}, essa associatividade se restringe a G. Conclusão: associatividade satisfeita.

Passo 5

O elemento identidade para a multiplicação real é 1. Observamos que
1 = 1 + 0\sqrt{2},
com 1,0\in\mathbb{Q}, e 1\neq 0, então 1\in G. Para qualquer a\in G temos 1\cdot a = a\cdot 1 = a. Portanto o elemento identidade pertence a G.

Passo 6

Tome a = x + y\sqrt{2}\in G. Queremos o inverso multiplicativo a^{-1}=\dfrac{1}{x+y\sqrt{2}} e mostrar que ele pertence a G. Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado x - y\sqrt{2}:
\frac{1}{x+y\sqrt{2}}=\frac{x - y\sqrt{2}}{(x+y\sqrt{2})(x - y\sqrt{2})}.
No denominador temos diferença de quadrados:
(x+y\sqrt{2})(x - y\sqrt{2}) = x^2 - (y\sqrt{2})^2 = x^2 - 2y^2.
Logo
a^{-1} = \frac{x - y\sqrt{2}}{x^2 - 2y^2} = \frac{x}{x^2-2y^2} + \frac{-y}{x^2-2y^2}\sqrt{2}.
Os coeficientes \dfrac{x}{x^2-2y^2} e \dfrac{-y}{x^2-2y^2} são razão de números racionais, portanto são racionais, desde que o denominador x^2-2y^2 seja diferente de zero. Precisamos garantir que x^2-2y^2\neq 0 para todo a\in G com a\neq 0. Se tivéssemos x^2-2y^2=0 com x,y\in\mathbb{Q}, então \left(\dfrac{x}{y}\right)^2=2 (quando y\neq 0), o que implicaria que \dfrac{x}{y}=\sqrt{2} é racional — contradicção, pois \sqrt{2} é irracional. Portanto a única possibilidade para x^2-2y^2=0 é x=y=0, que corresponderia ao elemento 0, mas 0\notin\mathbb{R}^{*} e não está em G. Como estamos em G\subset\mathbb{R}^{*}, todo a\in G tem x^2-2y^2\neq 0. Assim a^{-1} está em G. Conclusão: todo elemento de G tem inverso em G.

Passo 7

Já verificamos fechamento, associatividade, existência de identidade e existência de inversos em G. Logo (G,\star) é um grupo. Como \star é a multiplicação usual de reais, que é comutativa, temos a\star b = b\star a para quaisquer a,b\in G. Portanto o grupo é abeliano.

Resposta

O conjunto G=\{x+y\sqrt{2}\in\mathbb{R}^{*}:x,y\in\mathbb{Q}\} com \star definido por a\star b=a\cdot b é um grupo.
Sim, o grupo é abeliano.

Exercícios relacionados