Decida se cada conjunto
dotado da operação " *" indicada forma um grupo. Se não, indique uma entre as propriedades
e
que não é satisfeita. Verifique também quais dos grupos são abelianos.
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
onde
significa os reais não nulos, e a operação
é a multiplicação usual:
Pede-se decidir se
é grupo; se não for, indicar qual das propriedades do grupo não se satisfaz; e verificar se, quando for grupo, ele é abeliano.
Passo 2
Vou lembrar rapidamente e de forma direta o que precisamos checar para dizer que
é um grupo: precisamos mostrar que
- o conjunto é fechado pela operação (produto de dois elementos de
permanece em ); - a operação é associativa em
; - existe elemento identidade em
; - todo elemento de
tem inverso em .
(Se todas essas quatro condições forem verdadeiras, entãoé um grupo.) Também depois verificamos se a operação é comutativa (abeliana).
Passo 3
Pegue dois elementos genéricos de
:
com
. Multiplicando-os (produto de reais) obtemos
Agora expandimos o produto (distribuindo termos):
Como
, agrupando as partes racionais e as partes com
fica
Os coeficientes
e
são somas e produtos de números racionais, logo são racionais. Portanto
é da forma
com
. Além disso, se
e
são não nulos, o produto é não nulo; logo
. Conclusão: fechamento válido.
Passo 4
A operação
é a multiplicação usual de números reais. Sabemos (propriedade da multiplicação em
) que a multiplicação é associativa, isto é, para quaisquer
vale
. Como
, essa associatividade se restringe a
. Conclusão: associatividade satisfeita.
Passo 5
O elemento identidade para a multiplicação real é
. Observamos que
com
, e
, então
. Para qualquer
temos
. Portanto o elemento identidade pertence a
.
Passo 6
Tome
. Queremos o inverso multiplicativo
e mostrar que ele pertence a
. Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado
:
No denominador temos diferença de quadrados:
Logo
Os coeficientes
e
são razão de números racionais, portanto são racionais, desde que o denominador
seja diferente de zero. Precisamos garantir que
para todo
com
. Se tivéssemos
com
, então
(quando
), o que implicaria que
é racional — contradicção, pois
é irracional. Portanto a única possibilidade para
é
, que corresponderia ao elemento
, mas
e não está em
. Como estamos em
, todo
tem
. Assim
está em
. Conclusão: todo elemento de
tem inverso em
.
Passo 7
Já verificamos fechamento, associatividade, existência de identidade e existência de inversos em
. Logo
é um grupo. Como
é a multiplicação usual de reais, que é comutativa, temos
para quaisquer
. Portanto o grupo é abeliano.
Resposta
O conjunto
com
definido por
é um grupo.
Sim, o grupo é abeliano.
Sim, o grupo é abeliano.