Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
(i) 
 
(i)
Passo 1
Estamos lidando com a série infinita 
 . O conteúdo envolvido aqui é o estudo de séries infinitas, especificamente séries alternadas. Para resolver esse exercício, vamos precisar aplicar o Teste da Série Alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Observamos que 
  pode ser reescrito como 
 . Como 
 , o termo geral fica:
Então, a série pode ser escrita como:
Isso mostra que a série é alternada devido ao fator 
 .
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que uma série da forma 
  converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos 
são decrescentes, ou seja, para todo .  - 
.  
Aqui, nosso 
  é 
 .
Passo 4
Primeiro, vamos verificar se 
  é decrescente:
Vamos analisar o comportamento de 
  conforme 
  aumenta. Para isso, calculamos a derivada de 
  em relação a 
 :
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Para 
 , 
  é negativo, o que indica que 
  é decrescente.
Passo 5
Agora, vamos verificar o segundo critério do teste:
Dividindo numerador e denominador por 
 :
Portanto, 
 .
Resposta
Como as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, a série 
  converge.