Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
(l) 
 
(l)
Passo 1
Vamos analisar a série infinita 
 . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar o Teste da Série Alternada, que nos ajuda a determinar a convergência de séries onde os termos alternam sinais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Observe que:
Agora, nossa série fica:
Percebemos que os termos da série alternam de sinal devido ao 
 .
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que uma série da forma 
  converge se:
- Positividade: Os termos 
são positivos.  - Decrescimento: A sequência 
é decrescente.  - Limite Zero: 
 
Vamos verificar cada uma dessas condições.
Passo 4
- 
Positividade:Como
e são positivos para todo , também é positivo.  - 
Decrescimento:Conforme
aumenta, também aumenta, o que faz com que diminua. Portanto, a sequência é decrescente.  - 
Limite Zero:Calculamos o limite de
quando tende ao infinito: Isso acontece porquecresce mais rapidamente que , tornando o denominador muito grande e, consequentemente, tende a zero.  
Passo 5
Como todas as três condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série converge.
Resposta
A série 
  converge.