Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: sumn=1^+infty 1(ln n)^n.

Passo 1

Vamos analisar a série sumn=1^+infty 1(ln n)^n. Essa questão envolve o estudo de séries infinitas e a verificação de sua convergência ou divergência. Para resolver, vamos usar o Teste da Raiz, que é útil quando os termos da série têm potências envolvendo n.

Passo 2

O Teste da Raiz funciona assim: calculamos o limite da raiz n-ésima do termo geral da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste não nos dá uma resposta definitiva.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral da série:
an = 1(ln n)^n
Agora, aplicamos a raiz n-ésima nesse termo:
raiz[n]an = raiz[n]1(ln n)^n = 1ln n

Passo 4

Agora, calculamos o limite desse valor quando n tende ao infinito:
limn to infty 1ln n = 0
Isso porque, à medida que n cresce, ln n também cresce sem limites, fazendo com que 1ln n se aproxime de zero.

Passo 5

Como o limite calculado é 0, que é menor que 1, de acordo com o Teste da Raiz, podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série sumn=1^+infty 1(ln n)^n converge.

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