Decida se cada um dos vetores u abaixo pode ser gerado por \left\{v_{1}, \cdots, v_{n}\right\}.
Em caso, afirmativo, escreva u como combinação de v_{1}, \cdots, v_{n}.
u=(1,3,0) ; \quad v_{1}=(1,-2,-1), v_{2}=(3,2,5)

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\displaystyle u=(1,3,0),
\displaystyle v_{1}=(1,-2,-1) e
\displaystyle v_{2}=(3,2,5),
e pede para decidir se u pertence ao espaço gerado por \{v_{1},v_{2}\}.
Para isso, vamos procurar escalares a,b tais que
a\,v_{1} \;+\; b\,v_{2} \;=\; u,
o que gera um sistema de três equações lineares em duas incógnitas.

Passo 2

Escrevendo a combinação e igualando coordenadas, obtemos
a\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ -1\end{pmatrix} \; + \; b\begin{pmatrix}3\\\ 2\\\ 5\end{pmatrix} \;=\; \begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix},
isto é,
\begin{cases} a + 3b = 1,\\[6pt] -2a + 2b = 3,\\[6pt] -\,a + 5b = 0. \end{cases}]

Passo 3

Vamos resolver as duas primeiras equações para a e b. Da primeira,
a = 1 - 3b.
Substituindo na segunda:
-2(1-3b) + 2b = 3 \;\Longrightarrow\; -2 +6b +2b = 3 \;\Longrightarrow\; 8b = 5 \;\Longrightarrow\; b = \tfrac{5}{8},
e então
a = 1 - 3\Bigl(\tfrac{5}{8}\Bigr) = 1 - \tfrac{15}{8} = -\tfrac{7}{8}.

Passo 4

Agora verificamos a terceira equação com esses valores:
-\,a + 5b = -\bigl(-\tfrac{7}{8}\bigr) + 5\cdot\tfrac{5}{8} = \tfrac{7}{8} + \tfrac{25}{8} = \tfrac{32}{8} = 4 \neq 0.
Como a terceira equação não fica satisfeita, o sistema é inconsistente e não existem a,b tais que a\,v_{1}+b\,v_{2}=u.

Resposta

Não é possível gerar u por combinação linear de v_{1} e v_{2}; logo, u não pertence ao espa\c{c}o gerado por \{v_{1},v_{2}\}.

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