Decida se o campo vetorial \vec{F} dado é conservativo. Justifique, explicitando (se for o caso) uma função potencial f para \vec{F}.
\vec{F}(x, y)=\left(2 x \cdot \operatorname{sen} y+4 . e^{x}, \cos y\right)

Passo 1

O enunciado pede que eu decida se o campo vetorial \vec{F} é conservativo e, se for, que eu exponha uma função potencial f tal que \nabla f=\vec{F}. O enunciado fornece:
\vec{F}(x,y)=\bigl(2x\cdot \operatorname{sen}y+4\cdot e^{x},\;\cos y\bigr).
As informações relevantes a listar: os componentes de \vec{F} são
P(x,y)=2x\operatorname{sen}y+4e^{x}, \qquad Q(x,y)=\cos y,
o campo está definido para todos os (x,y)\in\mathbb{R}^2 (pois \operatorname{sen}y,\cos y,e^{x} são funções definidas em toda a reta). A pergunta é: \vec{F} é conservativo? Se sim, ache f tal que f_x=P e f_y=Q.

Passo 2

O que significa ser conservativo (explicação didática): dizer que \vec{F}=(P,Q) é conservativo equivale a dizer que existe uma função f(x,y) (chamada potencial) com
f_x(x,y)=P(x,y)\quad\text{e}\quad f_y(x,y)=Q(x,y).
Em domínios simples (em particular em \mathbb{R}^2, que é simplesmente conexo) há um critério muito útil: se P e Q têm derivadas parciais contínuas, então \vec{F} é conservativo se, e somente se,
\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)
para todo (x,y) no domínio. Vou usar esse critério porque é prático e direto. Explico rapidamente cada parte: \partial P/\partial y é a derivada parcial de P em relação a y mantendo x fixo; \partial Q/\partial x é a derivada parcial de Q em relação a x mantendo y fixo.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais envolvidas. Primeiro identifiquei
P(x,y)=2x\operatorname{sen}y+4e^{x}.
Derivando P em relação a y (tratando x como constante):
\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=2x\cdot\frac{d}{dy}\bigl(\operatorname{sen}y\bigr)+\frac{d}{dy}(4e^{x}) =2x\cos y+0,
portanto
\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=2x\cos y.
Agora para Q:
Q(x,y)=\cos y.
Derivando Q em relação a x (tratando y como constante):
\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)=\frac{d}{dx}(\cos y)=0,
pois \cos y não depende de x.

Passo 4

Compare as duas derivadas parciais que obtivemos:
\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=2x\cos y \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)=0.
Para que o critério de conservatividade fosse satisfeito precisaríamos ter 2x\cos y\equiv 0 para todo (x,y). Isso não é verdade em \mathbb{R}^2 (por exemplo, em (x,y)=(1,0) temos 2x\cos y=2\neq0). Logo a igualdade necessária falha, então \vec{F} não é conservativo.

Passo 5

Mostro uma outra maneira — útil na prova — que reforça a conclusão: suponha, em busca de contradição, que exista f com f_x=P. Integramos P em relação a x:
f(x,y)=\int \bigl(2x\operatorname{sen}y+4e^{x}\bigr)\,dx = x^{2}\operatorname{sen}y+4e^{x}+g(y),
onde g(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y. Agora derivamos essa hipótese em relação a y:
f_y(x,y)=x^{2}\cos y+g'(y).
Mas precisamos que f_y(x,y)=Q(x,y)=\cos y. Igualando,
x^{2}\cos y+g'(y)=\cos y.
Isolando g'(y)
g'(y)=(1-x^{2})\cos y.
O lado direito depende de x, enquanto g'(y) só pode depender de y. Essa dependência em x é impossível, o que contradiz a hipótese de existência de f. Portanto não existe função potencial f.

Passo 6

Conclusão final e incentivo: como o teste das derivadas parciais falha e a tentativa direta de encontrar um potencial leva a contradição, o campo não é conservativo — ou seja, não existe função potencial f com \nabla f=\vec{F}. Respira: é normal ver campos assim; você fez certo em checar as derivadas e a tentativa de integrar.

Resposta

Não é conservativo.
Não existe função potencial.

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