Decida quais das integrais impróprias abaixo são convergentes e quais são divergentes:
\int_{0}^{3} \frac{1}{2 x^{2}-18} d x

Passo 1

O enunciado nos pede para estudar a convergência da integral imprópria
\int_{0}^{3} \frac{1}{2x^{2}-18}\,dx.
O conteúdo é análise de integrais impróprias com singularidade no intervalo de integração.

Passo 2

Verificamos onde o integrando fica mal-comportado. O denominador anula-se quando
2x^{2}-18=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=9 \quad\Longrightarrow\quad x= \pm 3.
Dentro do intervalo [0,3] só aparece a singularidade em x=3. Portanto, reescrevemos a integral como
\lim_{b\to3^-}\int_{0}^{b}\frac{1}{2x^{2}-18}\,dx.

Passo 3

Analisamos o comportamento de \frac{1}{2x^{2}-18} quando x\to3^-. Note que
2x^{2}-18 = 2(x^{2}-9) = 2(x-3)(x+3)\approx 2\cdot6\,(x-3)=12(x-3) \quad\text{quando }x\approx3.
Logo, para x\to3^-,
\frac{1}{2x^{2}-18}\sim \frac{1}{12(x-3)},
e a integral
\int^{3}\frac{dx}{x-3}
diverge logaritmicamente (pois \int^{3^-}\!dx/(x-3)=\ln|x-3|\big|\,\to -\infty).

Passo 4

Como a parte próxima a x=3 diverge, a integral imprópria original também diverge.

Resposta

A integral é divergente.

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