Decida quais das integrais impróprias abaixo são convergentes e quais são divergentes:
\int_{0}^{\infty}|x| \cos \left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
\int_{0}^{\infty}|x|\cos(x^2)\,dx.
Trata-se de estudar o comportamento no infinito de uma integral cujo integrando é contínuo em [0,\infty).

Passo 2

Para x\ge0 temos |x|=x. Logo podemos escrever
\int_{0}^{\infty}|x|\cos(x^2)\,dx =\int_{0}^{\infty}x\cos(x^2)\,dx
e definir
I=\lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R}x\cos(x^2)\,dx.

Passo 3

Usamos a substituição u=x^2, de onde du=2x\,dx ou x\,dx=\tfrac12\,du. Assim, em termos de u:
\int x\cos(x^2)\,dx =\frac12\int\cos(u)\,du =\frac12\sin(u)+C =\frac12\sin(x^2)+C.

Passo 4

Calculando a integral de 0 a R:
\int_{0}^{R}x\cos(x^2)\,dx =\Bigl[\tfrac12\sin(x^2)\Bigr]_{0}^{R} =\frac12\bigl(\sin(R^2)-\sin(0)\bigr) =\frac12\sin(R^2).

Passo 5

Para convergência, o limite
\lim_{R\to\infty}\frac12\sin(R^2)
deveria existir. Como \sin(R^2) oscila perpetuamente entre -1 e 1 sem se aproximar de um único valor, esse limite não existe.

Resposta

A integral é divergente.

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