Decida quais das integrais impróprias abaixo são convergentes e quais são divergentes:
\int_{0}^{1} \frac{1}{(x-1)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a integral imprópria
\int_{0}^{1} \frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx
é convergente ou divergente. Há uma singularidade em x=1, então vamos reescrever a integral como um limite que se aproxima de 1 pela esquerda.

Passo 2

Definimos
\int_{0}^{1} \frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx =\lim_{b\to1^-}\int_{0}^{b} \frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx.
Para integrar, note que uma primitiva de \frac{1}{(x-1)^{2}} é
F(x)=-\frac{1}{x-1},
pois \bigl(-\tfrac{1}{x-1}\bigr)'=\tfrac{1}{(x-1)^{2}}.

Passo 3

Calculando a integral de 0 até b:
\int_{0}^{b} \frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx =\left[-\frac{1}{x-1}\right]_{0}^{b} =-\frac{1}{b-1}-\Bigl(-\frac{1}{0-1}\Bigr) =-\frac{1}{b-1}-1 =\frac{1}{1-b}-1.
Agora tomamos o limite b\to1^-:
\lim_{b\to1^-}\Bigl(\frac{1}{1-b}-1\Bigr) =+\infty,
já que \frac{1}{1-b}\to+\infty. Portanto a integral não fica num valor finito.

Resposta

A integral \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx
é divergente.

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