Decida quais das integrais impróprias abaixo são convergentes e quais são divergentes: \int_{0}^{\infty} 4 x^{3} e^{-x^{4}} d x
Passo 1
O enunciado pede para decidirmos se a integral imprópria
\int_{0}^{\infty}4x^{3}e^{-x^{4}}\,dx
é convergente ou divergente. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias em que temos limite no infinito e possíveis singularidades no limite inferior. Para resolver, vamos:
Identificar os pontos em que a integral é imprópria (aqui x=0 e x\to\infty);
Checar comportamento da função nessas regiões;
Encontrar uma primitiva e avaliar o limite.
Passo 2
Verificação em x=0. Quando x\to0^{+}, temos
4x^{3}e^{-x^{4}}\sim4x^{3}\cdot1=4x^{3},
e \int_{0}^{a}4x^{3}\,dx converte-se em \bigl.x^{4}\bigr|_{0}^{a}=a^{4}, que é finito para todo a>0. Logo não há divergência em x=0.
Passo 3
Verificação em x\to\infty. A parte exponencial e^{-x^{4}} decai muito rápido, sugerindo convergência. Para ser mais direto, encontramos a primitiva: basta notar que