Decida quais das integrais impróprias abaixo são convergentes e quais são divergentes:
\int_{0}^{\infty} 4 x^{3} e^{-x^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para decidirmos se a integral imprópria
\int_{0}^{\infty}4x^{3}e^{-x^{4}}\,dx
é convergente ou divergente. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias em que temos limite no infinito e possíveis singularidades no limite inferior. Para resolver, vamos:
  1. Identificar os pontos em que a integral é imprópria (aqui x=0 e x\to\infty);
  2. Checar comportamento da função nessas regiões;
  3. Encontrar uma primitiva e avaliar o limite.

Passo 2

Verificação em x=0. Quando x\to0^{+}, temos
4x^{3}e^{-x^{4}}\sim4x^{3}\cdot1=4x^{3},
e \int_{0}^{a}4x^{3}\,dx converte-se em \bigl.x^{4}\bigr|_{0}^{a}=a^{4}, que é finito para todo a>0. Logo não há divergência em x=0.

Passo 3

Verificação em x\to\infty. A parte exponencial e^{-x^{4}} decai muito rápido, sugerindo convergência. Para ser mais direto, encontramos a primitiva: basta notar que
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x^{4}}\bigr) = -4x^{3}e^{-x^{4}},
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\int4x^{3}e^{-x^{4}}\,dx = -\,e^{-x^{4}} + C.

Passo 4

Avaliação dos limites nos extremos:
\int_{0}^{\infty}4x^{3}e^{-x^{4}}\,dx = \lim_{b\to\infty}\Bigl[-e^{-x^{4}}\Bigr]_{0}^{b} = \lim_{b\to\infty}\bigl(-e^{-b^{4}} + e^{0}\bigr) = 0 + 1 = 1.
O resultado é um número finito 1, comprovando que a integral converge.

Resposta

A integral é convergente (seu valor é 1).

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