Decida quais das integrais impróprias abaixo são convergentes e quais são divergentes:
, onde
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
onde
O conteúdo é análise de integrais impróprias com limites infinitos e função em pedaços. Para resolver, vamos dividir o domínio em três partes:
,
e
, verificar cada integral e somar os resultados.
Passo 2
Escrevemos
Cada uma dessas integrais é imprópria apenas por causa dos limites
(não há descontinuidade no interior), então vamos tratar cada termo como limite de integrais próprias.
Passo 3
Para a parte central, que é própria,
basta usar a fórmula da área de um retângulo de base
e altura
, logo
Passo 4
Para a cauda à direita, definimos
Como
temos
e tomando
dá
Passo 5
Para a cauda à esquerda,
Usando a mesma primitiva,
Tomando
obtemos
Passo 6
Como cada parte deu valor finito, a integral imprópria converge. Somando os três resultados:
Resposta
A integral é convergente, e vale
.