Decida quais das integrais impróprias abaixo são convergentes e quais são divergentes:
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x, onde f(x)=\left\{\begin{array}{cc}1, & |x| \leq 1 \\\ \frac{1}{x^{2}}, & |x|>1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx
onde
f(x)=\begin{cases} 1, & |x|\le1,\\\ \dfrac1{x^{2}}, & |x|>1. \end{cases}
O conteúdo é análise de integrais impróprias com limites infinitos e função em pedaços. Para resolver, vamos dividir o domínio em três partes: (-\infty,-1], [-1,1] e [1,+\infty), verificar cada integral e somar os resultados.

Passo 2

Escrevemos
\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx = \int_{-\infty}^{-1}\frac1{x^{2}}\,dx + \int_{-1}^{1}1\,dx + \int_{1}^{\infty}\frac1{x^{2}}\,dx.
Cada uma dessas integrais é imprópria apenas por causa dos limites \pm\infty (não há descontinuidade no interior), então vamos tratar cada termo como limite de integrais próprias.

Passo 3

Para a parte central, que é própria,
\int_{-1}^{1}1\,dx
basta usar a fórmula da área de um retângulo de base 2 e altura 1, logo
\int_{-1}^{1}1\,dx = 2.

Passo 4

Para a cauda à direita, definimos
\int_{1}^{\infty}\frac1{x^{2}}\,dx = \lim_{R\to\infty}\int_{1}^{R}\frac1{x^{2}}\,dx.
Como
\int\frac1{x^{2}}\,dx = -\frac1{x},
temos
\int_{1}^{R}\frac1{x^{2}}\,dx = \Bigl[-\tfrac1{x}\Bigr]_{1}^{R} = \bigl(-\tfrac1{R}\bigr)-\bigl(-1\bigr) =1-\tfrac1{R},
e tomando R\to\infty
\int_{1}^{\infty}\frac1{x^{2}}\,dx = 1.

Passo 5

Para a cauda à esquerda,
\int_{-\infty}^{-1}\frac1{x^{2}}\,dx = \lim_{S\to-\infty}\int_{S}^{-1}\frac1{x^{2}}\,dx.
Usando a mesma primitiva,
\int_{S}^{-1}\frac1{x^{2}}\,dx = \Bigl[-\tfrac1{x}\Bigr]_{S}^{-1} = \bigl(-(-1)\bigr)-\bigl(-\tfrac1{S}\bigr) =1+\tfrac1{S}.
Tomando S\to-\infty obtemos
\int_{-\infty}^{-1}\frac1{x^{2}}\,dx = 1.

Passo 6

Como cada parte deu valor finito, a integral imprópria converge. Somando os três resultados:
1 + 2 + 1 = 4.

Resposta

A integral é convergente, e vale 4.

Exercícios relacionados