Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} e^{-n^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teste da Integral e decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} n^{2}e^{-n^{3}}
é convergente ou divergente. O conteúdo é o Teste da Integral: se a função f(x) é contínua, positiva e decrescente em [1,\infty), então a série \sum_{n=1}^\infty f(n) converge se, e somente se, a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx
converge. Aqui vamos tomar f(x)=x^{2}e^{-x^{3}}, verificar as hipóteses e calcular a integral.

Passo 2

Verificamos as hipóteses do Teste da Integral para
f(x) = x^{2}e^{-x^{3}}\,,\quad x\ge1.
  1. f(x)>0 para todo x\ge1 porque exponencial e quadrado são positivos.
  2. f(x) é contínua em [1,\infty) por ser combinação de funções elementares.
  3. Para ver que f é decrescente, computamos a derivada:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}e^{-x^{3}}\bigr) = 2x\,e^{-x^{3}} + x^{2}\bigl(-3x^{2}e^{-x^{3}}\bigr) = x e^{-x^{3}}\bigl(2-3x^{3}\bigr).
Para x\ge1 temos 3x^{3}\ge3>2, logo 2-3x^{3}<0 e f'(x)<0. Assim f é decrescente em [1,\infty).

Passo 3

Aplicamos o Teste da Integral avaliando
I = \int_{1}^{\infty} x^{2}e^{-x^{3}}\,dx.
Fazemos a substituição
t = x^{3}, \quad dt = 3x^{2}\,dx, \quad x^{2}\,dx = \frac{dt}{3}.
Quando x=1, t=1; quando x\to\infty, t\to\infty. Assim
I = \int_{t=1}^{\infty} e^{-t}\,\frac{dt}{3} = \frac{1}{3}\int_{1}^{\infty} e^{-t}\,dt = \frac{1}{3}\Bigl[-e^{-t}\Bigr]_{1}^{\infty} = \frac{1}{3}e^{-1},
que é finito.

Passo 4

Como a integral imprópria \int_{1}^{\infty} x^{2}e^{-x^{3}}dx converge, pelo Teste da Integral a série \sum_{n=1}^{\infty} n^{2}e^{-n^{3}} também converge.

Resposta

A série é convergente.

Exercícios relacionados