Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teste da Integral e decidir se a série
é convergente ou divergente. O conteúdo é o Teste da Integral: se a função
é contínua, positiva e decrescente em
, então a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
converge. Aqui vamos tomar
, verificar as hipóteses e calcular a integral.
Passo 2
Verificamos as hipóteses do Teste da Integral para
-
para todo porque exponencial e quadrado são positivos. -
é contínua em por ser combinação de funções elementares. - Para ver que
é decrescente, computamos a derivada:
Para
temos
, logo
e
. Assim
é decrescente em
.
Passo 3
Aplicamos o Teste da Integral avaliando
Fazemos a substituição
Quando
,
; quando
,
. Assim
que é finito.
Passo 4
Como a integral imprópria
converge, pelo Teste da Integral a série
também converge.
Resposta
A série é convergente.