decida se a integral imprópria converge ou diverge. Explique seu raciocínio.
integral1^infty x^2+1x^2+2 x+2 d x

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a integral imprópria
integral1^inftyx^2+1x^2+2x+2,dx
converge ou diverge.
O conteúdo aqui é teste de convergência de integrais impróprias no infinito, e vamos usar o teste de comparação por limite.

Passo 2

Estudamos o comportamento assintótico do integrando quando xtoinfty.
Para x grande,
x^2+1x^2+2x+2 approxx^2x^2=1
Ou seja,
limxtoinftyx^2+1x^2+2x+2=1

Passo 3

Aplicamos o teste de comparação por limite com a função g(x)=1, cuja integral integral1^infty1,dx diverge.
Calculamos
L=limxtoinftyx^2+1x^2+2x+21 =limxtoinftyx^2+1x^2+2x+2=1,
com 0< L<infty. Pelo teste de comparação por limite, integral1^inftyx^2+1x^2+2x+2,dx tem o mesmo comportamento de integral1^infty1,dx, isto é, diverge.

Passo 4

Como integral1^infty1,dx=l[xr]1^infty=infty, concluímos que
integral1^inftyx^2+1x^2+2x+2,dx=infty

Resposta

A integral diverge.

Exercícios relacionados