1. Seja f(x)=llx+1 & se x<2 1 & se x >= 2.
    a) f é contínua em 2? Por quê?
    b) f é derivável em 2? Por quê?
  2. Seja f(x)=clx^2 & se x <= 0 -x^2 & se x>0.
    a) f é derivável em 0 ? Justifique.
    b) f é contínua em 0? Justifique.
  3. Seja f(x)=r-x+3 se x<3 x-3 se x >= 3.
    a) f é derivável em 3 ? Justifique.
    b) f é contínua em 3? Justifique.

Passo 1

Estamos estudando funções definidas por partes e queremos verificar, em cada ponto de “quebra” , se a função é contínua e derivável.
Para isso usamos:
– Continuidade em : precisamos de
– Derivabilidade em : além de existir , precisamos que as derivadas laterais em existam e sejam iguais, isto é,

Passo 2

Função 1:
f(x)= x+1, & x<2, 1, & x>=2
(a) Continuidade em 2:
limxto2^-f(x)=2+1=3, f(2)=1, limxto2^+f(x)=1
Como limxto2^-f(x)=3neq f(2)=1, f não é contínua em 2.
(b) Derivabilidade em 2:
Se nem é contínua, já falha em ser derivável. Além disso, as derivadas laterais seriam
f'-(2)=ddx(x+1)g|x=2=1, f'+(2)=ddx(1)g|x=2=0,
que são diferentes. Logo, f não é derivável em 2.

Passo 3

Função 2:
f(x)= x^2, & x<=0, -,x^2, & x>0
(a) Derivabilidade em 0:
A derivada lateral à esquerda é
f'-(0)=ddx(x^2)g|x=0=2cdot0=0,
e à direita é
f'+(0)=ddx(-x^2)g|x=0=-2cdot0=0
Como f'-(0)=f'+(0), existe f'(0)=0 e f é derivável em 0.
(b) Continuidade em 0:
limxto0^-f(x)=0^2=0, f(0)=0^2=0, limxto0^+f(x)=-0^2=0
Todos iguais, logo f é contínua em 0.

Passo 4

Função 3:
(a) Derivabilidade em :
Como , não é derivável em .
(b) Continuidade em :
Todos iguais, logo é contínua em .

Resposta

1(a) Não; pois limxto2^-f(x)=3neq f(2)=1.
1(b) Não; não é contínua em 2 e as derivadas laterais ( 1 e 0) diferem.
2(a) Sim; pois f'-(0)=0=f'+(0).
2(b) Sim; pois limxto0^pmf(x)=0=f(0).
3(a) Não; pois f'-(3)=-1neq f'+(3)=1.
3(b) Sim; pois limxto3^pmf(x)=0=f(3).

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