Seja .
a) f é contínua em 2? Por quê?
b) f é derivável em 2? Por quê?
Seja f(x)=clx^2 & se x <= 0 -x^2 & se x>0.
a) f é derivável em 0 ? Justifique.
b) f é contínua em 0? Justifique.
Seja f(x)=r-x+3 se x<3 x-3 se x >= 3.
a) f é derivável em 3 ? Justifique.
b) f é contínua em 3? Justifique.
Passo 1
Estamos estudando funções definidas por partes e queremos verificar, em cada ponto de “quebra” , se a função é contínua e derivável.
Para isso usamos:
– Continuidade em : precisamos de
– Derivabilidade em : além de existir , precisamos que as derivadas laterais em existam e sejam iguais, isto é,
Passo 2
Função 1:
f(x)= x+1, & x<2, 1, & x>=2
(a) Continuidade em 2:
limxto2^-f(x)=2+1=3, f(2)=1, limxto2^+f(x)=1
Como limxto2^-f(x)=3neq f(2)=1, f não é contínua em 2.
(b) Derivabilidade em 2:
Se nem é contínua, já falha em ser derivável. Além disso, as derivadas laterais seriam
f'-(2)=ddx(x+1)g|x=2=1, f'+(2)=ddx(1)g|x=2=0,
que são diferentes. Logo, f não é derivável em 2.
Passo 3
Função 2:
f(x)= x^2, & x<=0, -,x^2, & x>0
(a) Derivabilidade em 0:
A derivada lateral à esquerda é
f'-(0)=ddx(x^2)g|x=0=2cdot0=0,
e à direita é
f'+(0)=ddx(-x^2)g|x=0=-2cdot0=0
Como f'-(0)=f'+(0), existe f'(0)=0 e f é derivável em 0.
(b) Continuidade em 0: